Convergência Absoluta e condicional

por **Aprendiz2012** » Sex Out 19, 2012 02:33

Vamos lá..
Verificar se a série é Absolutamente Convergente ou Condicionalmente Convergente
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{\left(-1 \right)}^{n-1}}{n}$

está ok.. temos aqui uma série geométrica

$a=\frac{1}{n}; q=-1$

$\left|q \right|=\left|-1 \right|=1$ portanto, divergente...

cálculo do módulo:

$\sum_{}^{}\left|\frac{{\left(-1 \right)}^{n}}{n} \right|=\frac{1}{n}$ <1, portanto convergente??

As informações que eu tenho:

-módulo da série sendo convergente= série Absolutamente Convergente
-módulo da série sendo divergente + série $\sum_{}^{}{a}_{n}$ convergente então = Condicionalmente convergente

surgiu o questionamento: e se o módulo da série for divergente e a série também?
minha resolução está correta?

por **MarceloFantini** » Sex Out 19, 2012 09:52

Você está confundindo todas as séries. Isto não é uma série geométrica, isto é uma série harmônica alternante. Ela não é absolutamente convergente pois

$\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n-1}}{n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = + \infty$ .

Porém, ela é convergente (não estou me lembrando qual teste exatamente usar agora) e assim dizemos que ela é condicionalmente convergente.

por **Aprendiz2012** » Sex Out 19, 2012 17:11

série harmônica alternada:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{\left(-1 \right)}^{n+1}}{n}$

Série geométrica:

$\sum_{n=1}^{\infty}a.{q}^{n-1}$

só pode ser geométrica essa série aí...

e o se o módulo é convergente, então pelo q parece só pode ser absolutamente convergente..

ñ concordam?

por **MarceloFantini** » Sex Out 19, 2012 22:08

Você está errando conceitos grosseiramente. Claramente você não viu que $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = + \infty$ , o que significa que ela é divergente.

Se você acha que $a_n = \frac{1}{n}$ é uma série geométrica, por favor exiba um único número

tal que

e que $\frac{1}{2} = 1 \cdot q$ , $\frac{1}{3} = 1 \cdot q^2$ , $\frac{1}{4} = 1 \cdot q^3$ , em diante.

Se em módulo uma série é convergente, pela definição ela é absolutamente convergente, que não é o caso aqui. A série harmônica $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ é divergente, como já dito na mensagem anterior e nesta. Logo o que resta é que ela seja condicionalmente convergente, que é o que acontece. Tente usar o teste da razão para provar isto.

por **Aprendiz2012** » Dom Out 21, 2012 13:06

realmente.. a idéia da série geométrica não ficou muito fixada na minha mente..

não conseguí visualizar ainda muito bem..

mas vamos lá, considerando que a série citada é harmônica alternada, e a série a seguir:

$\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{\sqrt[2]{2}} \right)}^{n-1}$ ???

por **MarceloFantini** » Dom Out 21, 2012 14:07

Geométrica alternada, pois $q = \frac{1}{\sqrt{2}}$ . A sequência é $1, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2 \sqrt{2}}, \frac{1}{4}, \ldots$ , em diante.

por **Aprendiz2012** » Dom Out 21, 2012 19:38

agora as coisas estão começando a se encaixar.. vamos ver as resoluções..

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{\left(-1 \right)}^{n-1}}{n}$ série harmônica alternada

$\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)}^{n-1}.\frac{1}{n}$

$\left|{a}_{n} \right|=\frac{1}{n}$ bom.. série harmônica.. p=1 divergente

a) $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0$

b) $\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}=\frac{n}{n+1}<1$

portanto série convergente...

conclusão final= condicionalmente convergente

e a segunda resumidamente:

$\left|{a}_{n} \right|=\left|{\left(\frac{1}{\sqrt[]{2}} \right)}^{n-1} \right|=\frac{1}{\sqrt[]{2}}<1\;$
portanto convergente

$\;Absolutamente \;\,Convergente$

por **MarceloFantini** » Dom Out 21, 2012 21:58

Se o seu item "(b)" for o teste da raíz, na verdade você considera $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ , e deve perceber que

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1 -1}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} = \lim_{n \to \infty} 1 - \frac{1}{n+1} = 1$ ,

logo o teste é inconclusivo. Use o teste de séries alternantes, que se a sequência a_n

tende para zero e é monotonamente decrescente, então a série é convergente. Isto é claramente verdade pra série harmônica alternada, então ela converge.

por **Aprendiz2012** » Ter Out 23, 2012 23:17

Não usei Cauchy nem D'Alembert..

só usei isso aqui:

Se:
$a) \lim_{n\rightarrow\infty}{a}_{n}=0$

$b)\left|{a}_{n+1} \right|<\left|an \right|\Rightarrow\left|\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}} \right|<1$

então a série alternada é convergente