Cálculo de área (produto vetorial)

por **wlima** » Sáb Abr 28, 2012 00:45

Estou tentando obter a resolução do seguinte problema.

Sabendo que o módulo do vetor u = 6 , o modulo do vetor v =4 e 30º o ângulo formado entre u e v.

Calcular a área do paralelogramo determinado por u+v e u-v.

Realize o esboço dos vetores, e apliquei algumas formulas, leis dos cossenos, módulo da área.

Se alguem puder me orientar, preciso entender a resolução.

Obrigado

por **Russman** » Sáb Abr 28, 2012 06:19

A área do paralelogramo que pode ser formado por dois vetores $\overrightarrow{a}$ e $\overrightarrow{b}$ é dada pelo módulo se seu produto vetorial, isto é, seja S a área entao

$S = \left| \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a} \right|=\left|\overrightarrow{a} \right| . \left|\overrightarrow{b} \right|.sin(\theta)$ ,

onde $\theta$ é o angulo entre os vetores.

Efetuando o produto vetorial observamos que

$S = \left|(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\times (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) \right|=$
$= \left|(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{u} - \overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{v}\right| = 2\left|(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v})\right|$ ,

pois $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=-\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}\times \overrightarrow{v} =\overrightarrow{0}$ .

Portanto, $S = 2\left|(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v})\right| = u.v.sin(\theta) = 2.6.4.sin(30) = 24$

Para confirmar isto podemos calcular de outra forma. Pois bem, o problema pede que você calcule a área do paralelogramo entre os vetores $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})$ e $(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})$ . Assim, você precisa conhecer o módulo destes vetores e o angulo entre eles! ( Veja que a soma e a subtração de veotres geram novos vetores).

É conhecido e facilmente demons trável que

${\left|\overrightarrow{u+v} \right|}^{2} = {u}^{2} + 2uv.cos(\theta) + {v}^{2}$

${\left|\overrightarrow{u-v} \right|}^{2} = {u}^{2} - 2uv.cos(\theta) + {v}^{2}$ ,

onde as letras sem flechas representam o módulo do respectivo vetor, isto é, $a = \left|\overrightarrow{a} \right|$ e $\theta$ o angulo ja mencionado.

Assim,

${\left|\overrightarrow{u+v} \right|}^{2} = {u}^{2} + 2uv.cos(\theta) + {v}^{2} = {6}^{2} + 2.6.4.cos({30}^{o}) + {4}^{2} = 52 + 24\sqrt[]{3}$ .

${\left|\overrightarrow{u+v} \right|}^{2} = {u}^{2} + 2uv.cos(\theta) + {v}^{2} = {6}^{2} - 2.6.4.cos({30}^{o}) + {4}^{2} = 52 - 24\sqrt[]{3}$ .

Agora, o angulo entres estes veotores podemos calcular usando o produto escalar.

$\theta = arcos\frac{(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})}{\left | (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \right |.\left | \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) \right |} = arcos\frac{u^{2} - v^{2}}{4\sqrt{61}} =arcos \frac{5}{\sqrt{61}}$

De onde, $sin(\theta) = sin( arcos \frac{5}{\sqrt{61}}) = \frac{6}{\sqrt{61}}$ . Portanto,

$S = \left | (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\times (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u}) \right |= \left | (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\right | . \left | (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})\right | . sin(\theta ) = 4\sqrt{61}.\frac{6}{\sqrt{61}}=24$ .

O primeiro método é bem mais simples e direto.

por **wlima** » Sáb Abr 28, 2012 09:02

Obrigado Russman, sua explanação está ótima.

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