![x*y = \sqrt[]{x^2+y^2}](/latexrender/pictures/c5f35b87f5430258fb09d289bd48c0a7.png "x*y = \sqrt[]{x^2+y^2}")
Eu preciso verificar três propriedades:
1) associatividade - foi verificada
2) existência de elemento neutro - foi verificada. O elemento neutro encontrado foi e =0.
3) existência de elemento simétrico. A minha dúvida é justamente nessa propriedade, pois preciso verificar se
x*x`= e = x`*x, onde x`é o elemento simétrico e "e" o elemento neutro encontrado anteriormente. O desenvolvimento ficou da seguinte forma:
![\sqrt[]{x^2+(x`)^2}=0](/latexrender/pictures/9f16c6f54261d23cd0de239a33044e6e.png "\sqrt[]{x^2+(x`)^2}=0")
. Elevando-se ambos os lados ao quadrado encontramos 
. Isolando o x` (elemento simétrico) temos: ![x`= \sqrt[]{-x^2}](/latexrender/pictures/fa48bfd5fd55e186c919a1a37a33fd2d.png "x`= \sqrt[]{-x^2}")
. dúvida: posso extrair a raiz de um número negativo considerando o conjunto dos números reais positivos?
Essa questão está no livro álgebra moderna (Hygino Domingues).
![x*y = \sqrt[2k+1]{x^{2k+1}+y^{2k+1}}](/latexrender/pictures/bec6d03b2746dee3633d7794d5007578.png "x*y = \sqrt[2k+1]{x^{2k+1}+y^{2k+1}}")
, isto é o índice e os expoentes devem ser ímpares para poder satisfazer a propriedade do elemento inverso.
é simetrizável para 
. 
é o 
com a operação definida não é um grupo.
e ![x*y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}](/latexrender/pictures/b606ce34c521a3f6ddfdfb019fe64676.png "x*y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}")
, ![\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}](/latexrender/pictures/981987c7bcdf9f8f498ca4605785636a.png "\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}")
![\sqrt[]{2}](/latexrender/pictures/f21662d1cabab6e8b273a4b6f1cd663a.png "\sqrt[]{2}")
e elevar ao quadrado os dois lados)