Estruturas algébricas

por **Eliane Maria** » Qua Abr 25, 2012 01:01

Eu preciso verificar se o conjunto dos reais positivos com a operação abaixo representa um grupo.

$x*y = \sqrt[]{x^2+y^2}$

Eu preciso verificar três propriedades:
1) associatividade - foi verificada
2) existência de elemento neutro - foi verificada. O elemento neutro encontrado foi e =0.
3) existência de elemento simétrico. A minha dúvida é justamente nessa propriedade, pois preciso verificar se
x*x`= e = x`*x, onde x`é o elemento simétrico e "e" o elemento neutro encontrado anteriormente. O desenvolvimento ficou da seguinte forma: $\sqrt[]{x^2+(x`)^2}=0$ . Elevando-se ambos os lados ao quadrado encontramos x^2+(x`)^2=0

. Isolando o x` (elemento simétrico) temos: $x`= \sqrt[]{-x^2}$ .

dúvida: posso extrair a raiz de um número negativo considerando o conjunto dos números reais positivos?

Essa questão está no livro álgebra moderna (Hygino Domingues).

por **fraol** » Qui Abr 26, 2012 23:49

Você não pode ter raiz quadrada de número negativo nesse domínio.

por **Eliane Maria** » Sex Abr 27, 2012 12:28

Obrigada pela resposta. Foi o que eu pensei também. No livro do Hygino, diz que existe elemento simétrico.

por **fraol** » Sex Abr 27, 2012 12:55

Você poderia passar a página do livro que você encontrou o exercício, eu terei acesso ao livro no fim de semana e posso verificar.

No meu entendimento um conjunto munido com essa operação, $x*y = \sqrt[]{x^2+y^2}$ , não é um grupo pois não possui o elemento inverso.

Presumo que seja o caso da operação ser algo como $x*y = \sqrt[2k+1]{x^{2k+1}+y^{2k+1}}$ , isto é o índice e os expoentes devem ser ímpares para poder satisfazer a propriedade do elemento inverso.

por **Eliane Maria** » Seg Abr 30, 2012 00:51

Na página 114, no exercício 105, ele pede para o leitor verificar se a operação é associativa. Resp. na página 352. é associativa.

Na página 116, no exercício 111, ele pede para verificar se a operação do exercício 105 tem elemento neutro. Resp. na página 352. tem elemento neutro.

Na página 119, no exercício 116, ele pede para o leitor determinar nas operações do exercício 105 que têm elemento neutro os elementos simetrizavéis. Resp. 352.

Você pode verificar se é isso mesmo?

Mais uma vez obrigada pela ajuda.

Eliane.

por **fraol** » Seg Abr 30, 2012 20:39

Boa noite Eliane,

Verifiquei no livro, nesse último exercício, o 116, ele pede os elementos simetrizáveis.

Para o caso que estamos discutindo, somente o

é simetrizável para E = R_+

.

De fato, o único elemento que satisfaz a igualdade x^2 = -(x')^2

é o

.

Portanto o conjunto

com a operação definida não é um grupo.

Grato.

.

por **Eliane Maria** » Seg Abr 30, 2012 21:16

Olá Fraol,

desculpe, mas eu não entendi.

por **fraol** » Seg Abr 30, 2012 21:32

Este exercício pede para você determinar os elementos simetrizáveis dos conjuntos dados.

No caso que estamos discutindo, o da letra c, somente o

é simetrizável, os demais elementos não possuem simétricos pois você cairia naquela impossibilidade da raiz real de número negativo.

Em contraponto, na letra d:

E = R

e $x*y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ ,

todos os elementos são simetrizáveis.

por **Eliane Maria** » Ter Mai 01, 2012 22:07

Olá Fraol,
muito obrigada pelo esclarecimento. Se fosse verificada a extração da raiz então posso afirmar que todos os elementos são simetrizáveis? logo a estrutura é um grupo?

por **fraol** » Ter Mai 01, 2012 22:19

Eliane Maria escreveu:Olá Fraol,
muito obrigada pelo esclarecimento. Se fosse verificada a extração da raiz então posso afirmar que todos os elementos são simetrizáveis? logo a estrutura é um grupo?

Sim. Se todos os elementos do conjunto forem simetrizáveis, existir o elemento neutro e a operação for associativa então a estrutura é um grupo.

.

por **Eliane Maria** » Ter Mai 01, 2012 22:48

mais uma vez obrigada. Vou tentar fazer os outros exercícios.

por **Eliane Maria** » Ter Mai 01, 2012 22:57

Fraol,

onde se aplica a teoria dos grupos?

por **fraol** » Ter Mai 01, 2012 23:42

Oi Eliane Maria,

É possível que aqui no forum tenhamos colegas mais preparados para responder essa pergunta.
No entanto, o que posso dizer é que, como muitas partes da matemática, essa teoria servia, inicialmente, a própria matemática.
Mas como ocorre, também com outros tópicos, as aplicações vão surgindo e hoje já há um bom leque delas. Aqui tem um exemplo prático. Outros exemplos você poderá encontrar na física, na química, na computação, em jogos ( lembra daquele cubo mágico - há formas de resolvê-lo usando teoria dos grupos - um pouco sobre isso você encontra aqui), etc.
No próprio livro que você está estudando os autores tocam em aplicações na introdução do capítulo IV a respeito desse assunto.

Bons estudos!

.