[limite] envolvendo funções trigonométricas

por **Henrique Bueno** » Ter Abr 24, 2012 22:29

na resolução do seguinte limite:

$\lim_{v\to1}\frac{1-v^2}{sen(v\pi)}}$

eu havia resolvido multiplicando por 1/v em cima e em baixo e encontrado 0/pi como resultado, porém depois me dei conta de que o limite fundamental trigonométrico (lim x->0 sen u / u = 1 ) somente é válido nos casos onde x->0
Então não consigo resolver mais o exercício :s preciso de ajuda, a prova está chegando :/

grato

por **TheoFerraz** » Ter Abr 24, 2012 22:37

Henrrique, voce não colocou para onde v está tendendo!

por **Henrique Bueno** » Ter Abr 24, 2012 22:46

Corrigido, obrigado !

por **TheoFerraz** » Qua Abr 25, 2012 01:01

imagino que se voce fizer a troca de variáveis:

$x \equiv u - 1$

você terá que quando u tende a 1 x tende a zero, portanto o limite equivale a:

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ 1 - {(x+1)}^{2}}{sin((x+1) \pi)} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{ - {x}^{2} - 2x }{sin(\pi x + \pi)}$

com isso, e utilizando a propriedade trigonométrica

sin( a + b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)

sin( a + b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)

que no caso fica

$sin( \pi x + \pi) = sin(\pi x)cos(\pi ) + sin(\pi )cos(\pi x )$

que resulta em :

$sin( \pi x + \pi) = sin(\pi x)cos(\pi ) + sin(\pi )cos(\pi x) = sin(\pi x)$

e seu limite fica:

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ - {x}^{2} - 2x }{sin(\pi x )}$

Agora tente dessa forma. [=

por **TheoFerraz** » Qua Abr 25, 2012 01:01

imagino que se voce fizer a troca de variáveis:

$x \equiv u - 1$

você terá que quando u tende a 1 x tende a zero, portanto o limite equivale a:

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ 1 - {(x+1)}^{2}}{sin((x+1) \pi)} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{ - {x}^{2} - 2x }{sin(\pi x + \pi)}$

com isso, e utilizando a propriedade trigonométrica

sin( a + b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)

que no caso fica

$sin( \pi x + \pi) = sin(\pi x)cos(\pi ) + sin(\pi )cos(\pi x )$

que resulta em :

$sin( \pi x + \pi) = sin(\pi x)cos(\pi ) + sin(\pi )cos(\pi x) = sin(\pi x)$

e seu limite fica:

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ - {x}^{2} - 2x }{sin(\pi x )}$

Agora tente dessa forma. [=

por **Henrique Bueno** » Qua Abr 25, 2012 01:29

acho que faltou um sinal negativo no sen(pi.x) em baixo, mas você me ajudou MTO com essa sacada do x=u-1, muito obrigado, agora eu consegui resolver o exercício