Problema com raízes dos limites

por **Ademir Jose** » Sex Mar 09, 2012 21:45

Lim x-> 2 $\lim_{x\rightarrow3}\left( x^4 - 81 \right)/\left( 2x^2 - 5x - 3 \right)$

Eu fui resolvendo o limite e achei as raízes (x-3).(x +1/2) para o divisor, sendo que na resposta aparece (x-3).(2x +1). Alguém poderia me explicar detalhadamente como isso acontece ?

por **ant_dii** » Sáb Mar 10, 2012 01:55

Como você disse, você encontrou as raízes de 2x^2 - 5x - 3

, isso significa fazer 2x^2 - 5x - 3=0

, de onde temos
$(x-3)\cdot\left(x+\frac{1}{2}\right)=0$

Veja que isto significa o mesmo que x-3=0

ou $x+\frac{1}{2}=0$ .

Desta última, podemos fazer a seguinte dedução lógica

$x+\frac{1}{2}=0 \Leftrightarrow x=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow 2x=-1 \Leftrightarrow 2x+1=0$

Portanto, $x+\frac{1}{2}=0$ é o mesmo que 2x+1=0

.

Entendeu???

por **LuizAquino** » Sáb Mar 10, 2012 09:00

Ademir Jose escreveu: $\lim_{x \to 3} \left( x^4 - 81 \right)/\left( 2x^2 - 5x - 3 \right)$

Eu fui resolvendo o limite e achei as raízes (x-3).(x +1/2) para o divisor, sendo que na resposta aparece (x-3).(2x +1).

ant_dii escreveu:Como você disse, você encontrou as raízes de , isso significa fazer 2x^2 - 5x - 3=0, de onde temos
$(x-3)\cdot\left(x+\frac{1}{2}\right)=0$

Vocês dois cometeram um erro muito comum: esquecer do coeficiente que multiplica o termo x^2

.

O correto é:

$2x^2 - 5x - 3 = 2(x-3)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$

Arrumando o produto que aparece no segundo membro, podemos escrever que:

$2x^2 - 5x - 3 = (x-3)\left[2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\right]$

2x^2 - 5x - 3 = (x-3)(2x+1)

por **joaofonseca** » Sáb Mar 10, 2012 11:42

Existe uma técnica de fatorização, para quando o coeficiente do termo quadrádico é maior que 1.Em inglês chamam-lhe o "bottom-up".
E funciona assim:

1)Multiplica-se o coficiente do termo quadratico pelo termo independente.Neste caso temos 2x(-3)=-6.

2)Agora a tipica pergunta: quais os dois números cujo poduto é -6 e a soma é -5.Sabemos de antemão que os dois números terão sinais diferentes e o maior será negativo.Fica:

(x+1)(x-6)=0

(a solução 2 e -3 ou 3 e -2 não daria resultado, porque apesar do produto ser -6 a soma não seria -5)

Esta expressão ainda não é equivalente à inicial dáda.
Agora temos de dividir os termos independentes por 2, que é o coeficiente do termo quadrático.Se resultar em divisão não inteira o denominador passa como coeficiente do termo em x:

$(x+\frac{1}{2})(x-\frac{6}{2})=0$

(2x+1)(x-3)=0

Na pratica é o que o LuizAquino já disse, mas de uma forma mais automática.Nem é preciso pensar muito!

por **LuizAquino** » Sáb Mar 10, 2012 13:41

joaofonseca escreveu:Na pratica é o que o LuizAquino já disse, mas de uma forma mais automática.Nem é preciso pensar muito!

Isso é que causa problema: "não pensar".

"Decorar" os conteúdos de Matemática e executá-los de uma forma "automática" (sem "pensar muito"), tipicamente gera uma grande quantidade de erros!