Limite

por **gabrielspadon** » Sáb Jul 02, 2011 22:17

Como calculo essas expressões?

$\lim_{x \to \ 3} \frac {\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{3}}{x - 3}$

$\lim_{x \to \ 2} \frac {\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{2}}{x - 2}$

Segundo o Guidorrizi vol.1 (Um curso de Calculo), o resultado do primeiro limite é $\frac {1}{3 \sqrt[3]{9}}$ e o segundo é $\frac {1}{4 \sqrt[4]{8}}$ mas não sei como faço para alcançar esses resultados.

por **MarceloFantini** » Sáb Jul 02, 2011 23:10

Você terá que usar produtos notáveis, como no primeiro caso: a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 +ab+b^2)

.

por **gabrielspadon** » Sáb Jul 02, 2011 23:16

Por que (a²+ab+b²) e não (a²+2ab+b²) = (a+b)²?

por **Fabio Cabral** » Dom Jul 03, 2011 02:23

$(a^2+ab+b^2)\neq (a^2+2ab+b^2)$

A primeira expressão faz parte da aplicação do produto notável (a^3-b^3)

, como explicado acima.
A segunda expressão faz referência à (a+b)^2

, como você mesmo afirmou:

gabrielspadon escreveu:(a²+2ab+b²) = (a+b)²

Sabendo disso, vamos à sua pergunta.

gabrielspadon escreveu:Por que (a²+ab+b²) e não (a²+2ab+b²) = (a+b)²?

Note que o que há do lado esquerdo da igualdade é equivalente ao lado direito da igualdade, ou seja, resultam na mesma coisa.
Portanto, se resolver o lado direito da igualdade, você obterá (a-b)^3

Agora, suponhamos que o lado direito da igualdade seja o que você mencionou:

a^3-b^3 = (a-b)

Se resolver o lado direito da igualdade, o resultado será a^3-b^3

?

Não!

Por isso você não pode utilizar (a^2+2ab+b^2)

ao invés de (a^2+ab+b^2)

Dê uma olhada nesse site. Ele fornece algumas informações úteis sobre produtos notáveis e ainda disponibiliza alguns exercícios!
http://www.exatas.mat.br/produtosnot.htm

por **Fabio Cabral** » Dom Jul 03, 2011 02:29

viewtopic.php?f=120&t=5302

Aqui, uma questão (resolvida) semelhante à essa que você tem dificuldade.

por **gabrielspadon** » Dom Jul 03, 2011 11:28

Obrigado, consegui calcular e entender o primeiro limite, mas ainda não consegui enxergar qual produto notável se encaixa no segundo limite...

Resolvendo exercícios, notei o seguinte:

$\lim_{x \to \ p} \frac {\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}}{x - p} = \frac {1}{n \sqrt[n]{p^{n-1}}}$

e tambem que:

$\lim_{x \to \ p} \frac {x^n - p^n}{x - p} = np^{n-1}}$

Gostaria de entender o porque disso...
Pois expandindo a primeira equação chego em $\lim_{x \to \ p} \frac {\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{p}}{x - p} = \lim_{x \to \ p} \frac {1}{\sqrt[n]{x^{n-1}} - \sqrt[n]{p^{n-1}}}$
E não consigo explicar porque o resultado que eu alcancei é equivalente a outro.

por **Renato_RJ** » Dom Jul 03, 2011 12:53

Em resumo, você acabou de determinar a derivada da função no ponto P..

Se você tem o Guidorizzi recomendo a leitura das páginas 136 até 146, especialmente a página 146 onde tem a demonstração da derivada de $\sqrt[n]{x}$ .

Abraços.

por **gabrielspadon** » Dom Jul 03, 2011 13:02

Renato_RJ escreveu:Em resumo, você acabou de determinar a derivada da função no ponto P...

Voce poderia me dar uma definição melhor sobre isso? :x

por **Claudin** » Dom Jul 03, 2011 14:21

Tente pesquisar antes de postar dúvidas pois podem estar repetindo perguntas

http://ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=120&t=5288

http://ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=120&t=5289

por **Claudin** » Dom Jul 03, 2011 14:26

A resolução destes exercícios no livro é logo no início do estudo sobre Limite, então o aluno seguindo a regra normal de estudo de Cálculo Integral e Diferencial I, ainda não possui conhecimento de derivada, e claro regra de L'Hopital. O modo correto seria aplicação de produtos notáveis como nos tópicos em que eu postei.

por **Renato_RJ** » Dom Jul 03, 2011 14:52

Ha, sim, mas esse exercício dá uma introdução ao conceito de derivada, que será visto mais adiante.. Fora que estamos no final do período letivo de qualquer universidade, então o conceito de derivada bem como integral já deveria ser familiar a todos os alunos de Calculo 1...

por **Fabio Cabral** » Dom Jul 03, 2011 15:35

gabrielspadon escreveu:Obrigado, consegui calcular e entender o primeiro limite, mas ainda não consegui enxergar qual produto notável se encaixa no segundo limite...

Veja que o produto notável a ser usado no segundo limite é: a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)

Resolva da mesma maneira do primeiro limite.

por **LuizAquino** » Qua Jul 06, 2011 00:22

Dica

Em exercícios como esse lembre-se do produto notável:
$a^n - b^n = (a-b)\left(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \cdots + a^2b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1}\right)$ , com n natural e n > 1.

Exemplo:
$a^4 - b^4 = (a-b)\left(a^{3} + a^{2}b + ab^2 + b^{3}\right)$

por **giulioaltoe** » Qua Jul 06, 2011 00:35

tem faculdades que estavam em greve... estou vendo limite so agora!! alias tenhos um exercicio bem semelhante a este dele so que com outras incognitas!