Retas Concorrentes

por **lsergio_santos** » Qui Jun 11, 2015 17:12

Estou auxiliando minha filha com a matéria, mas devido ao longo tempo que me formei no 2º grau, não consigo me lembrar como desenvolver a solução para o problema a seguir:

Determine os valores de m para que as retas de equações y=mx-8 e y-x/m=0 sejam concorrentes. Alguém pode me ajudar a resolver passo a passo e, com urgência?

por **nakagumahissao** » Qui Jun 11, 2015 19:04

lsergio_santos,

Boa tarde.

Para que as retas de equações y=mx-8 e y-x/m=0 sejam concorrentes deverá existir um ponto (x,y) iguais para as duas equações, ou seja:

Foi dado que:

y=mx-8

$y-\frac{x}{m}=0 \Leftrightarrow y = \frac{x}{m}$

Assim, igualando as duas equações, tem-se:

$mx - 8= \frac{x}{m} \Leftrightarrow m^{2}x - 8m = x \Leftrightarrow m^{2}x - x - 8m = 0$

Isolando o x, teremos:

$(m^{2}-1)x =8m \Leftrightarrow x = \frac{8m}{(m^{2}-1)}$

Usando quaisquer uma das equações dadas, podemos determinar o valor de y (usarei a primeira por ser mais simples):

$y = mx - 8 \Rightarrow y = m\left(\frac{8m}{m^2 - 1} \right) \Leftrightarrow y = \frac{8m^{2}}{m^{2} - 1}$

Não sei se estão faltando dados no seu enunciado. Se for só isso mesmo, então quaisquer valores para m, com exceção de:

$m^2 - 1 \neq 0$
$m^2 \neq 1$
$m \neq \pm \sqrt[]{1}$
$m \neq \pm 1$

Ou seja, para valores de m onde o denominador se torna zero (m = 1 ou m = -1, conforme calculamos acima), encontraremos consequentemente os valores de x e y, onde as duas retas se coincidem.

Exemplo:

Tomemos m = 5 (pode ser qualquer valor diferente de 1 e -1):

$x = \frac{8m}{(m^{2}-1)} = \frac{8 \times 5}{(5^{2}-1)} = \frac{40}{(25-1)} = \frac{40}{24} = \frac{5}{3}$

e

$y = \frac{8m^{2}}{m^{2} - 1} = \frac{8 \times 5^{2}}{5^{2} - 1} = \frac{8 \times 25}{25 - 1} = \frac{200}{24} = \frac{25}{3}$

Ou seja:

Para m = 5, o ponto (5/3, 25/3) será o ponto onde as duas retas irão se encontrar e as equações das retas serão:

y = 5x - 8 e y - x/5 = 0, para este caso em particular.

Espero ter auxiliado.

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