[Geometria Plana]

por **Micael** » Qua Abr 17, 2013 22:29

Observe a figura :
Nela o círculo tem o centro O e raio 6 e OP=16. A reta PT é tangente ao circulo em T eo segmento --TQ é perpendicular á reta OP assim sendo, o comprimento do segmento QP é? da uma ajuda nesse exercicio...

R:13,75

por **nakagumahissao** » Qui Abr 18, 2013 08:10

Não tem algo errado nesta questão? OP = 16 e é perguntado quanto vale OP?

por **Micael** » Qui Abr 18, 2013 10:22

Pronto arrumei! .... alguem pode ajudar?

por **nakagumahissao** » Qui Abr 18, 2013 11:47

Veja bem, temos dois triângulos semelhantes:

TQO e TQP. A distância entre OQ será de 6 -x e QP de 16 - 6 + x = 10 + x. Logo:

Imagem

Note que OQ = 6-x, QP = 16 - (6-x) = 10 + x, PTO é um triângulo retângulo pois PT é tangente ao círculo, TQO e TQP são triângulos retângulos. Logo, de PTO tem-se:

$u^{2} + 6^{2} = dist(OP)^{2} = 16^{2} = 256$

$u^{2} + 36 = 256 \Rightarrow u^{2} = 220$

Agora, do triângulo OQT tem-se:

$h^{2} + (6-x)^{2} = 6^{2} = 36 \Rightarrow h^{2} + 36 - 12x + x^{2} = 36 \Rightarrow$

$\Rightarrow h^{2} = 36 - 36 + 12x - x^{2} \Rightarrow h^{2} = 12x - x^{2}$

Do último triângulo, TQP, tem-se:

$h^{2} + (10 + x)^2 = u^{2} = 220 \Rightarrow h^{2} = 220 - 100 - 20x - x^{2}$

Igualando $h^{2}$ :

$220 - 100 - 20x - x^{2} = 12x - x^{2} \Rightarrow 12x + 20x = 120 \Rightarrow 32x = 120 \Rightarrow x = \frac{15}{4}$

Sabendo-se que x = 15/4 e que OP = 16, então a distância QP = 10 + x será de:

$QP = 10 + \frac{15}{4} = \frac{40 + 15}{4 }=13,75$

Que é o valor procurado!