Matrizes

por **Colton** » Sáb Out 02, 2010 20:22

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Olá

Estou me debatendo já há mais de uma hora com a seguinte questão:

Calcule detQ, sabendo que Q é uma matriz 4 x 4 tal que detQ diferente de zero e Q^3+2Q^2 = 0.

Só consegui descobrir que se detQ = x, detQ^2 = x^2. detQ^3 = x^3...mas não consigo relacionar isto com a soma do cubo da matriz com o dobro do quadrado da matriz...

Há alguém aí que pode me dar uma orientação?

A resposta do livro é detQ = 16

Colton

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por **Elcioschin** » Seg Out 04, 2010 13:09

Vou tentar:

Q³ + 2*Q² = 0

(Q + 2)*Q² = 0

Como Q >< 0 -----> Q + 2 = 0 ----> Q = -2

Como a matriz é de ordem 4 ----> detQ = (-2)^4 -----> detQ = 16

por **Colton** » Seg Out 04, 2010 17:21

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Obrigado Elcioschin!
Às vezes o óbvio está aí e a gente não vê...

Abraços

Colton

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por **Colton** » Seg Out 04, 2010 17:40

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Olá Elcioschin... óia nóis aqui 'traveis!
Na verdade, eu também tinha chegado à conclusão que Q = -2...
O que eu não consegui visualisar é o significado disto, isto é o que quer dizer Q = -2 ???
É certo que elevando isto à quarta temos 16, mas aonde estamos pisando?

Abraço

Colton

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por **MarceloFantini** » Seg Out 04, 2010 18:45

Acredito que a maneira seja essa:

$Q^3 = -2Q^2 \rightarrow det (Q^3) = det (-2Q^2)$

Pelas propriedades det (kA) = k^n det (A)

, onde

é o tamanho da matriz, e det(A^n) = det^n (A)

, temos:

$det (Q^3) = det^3 (Q) = (-2)^4 \cdot det^2 (Q)$ .

Como $det (Q) \neq 0$ , podemos dividir por

, finalizando:

det (Q) = 16

por **Colton** » Seg Out 04, 2010 19:59

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Olá Fantini

Eu acho que agora está certo.

Obrigado...é que estas propriedades (especialmente det(A^n) = det^n(A)) não consta do livro que eu venho estudando.
A outra propriedade consta, porém de maneira implícita...
Muito grato,
Abraço
Colton

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por **MarceloFantini** » Seg Out 04, 2010 20:23

A propriedade det(A^n) = det^n(A)

é uma consequência direta da propriedade $det(A \cdot B) = det A \cdot det B$ . Veja:

$det (A^n) = \overbrace { det A \cdot det A \cdot det A \cdot \ldots \cdot det A }^{\mbox{n parcelas}} = det^n (A)$