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Mensagempor Danilo Dias Vilela » Ter Ago 17, 2010 13:03

Gostaria de ajuda na seguinte questão:

(UFMA) A soma das raízes da equação 2.{log}_{9}^{x}+2{log}_{x}^{9}=5 é:

a)92
b)27
c)36
d)76
e)84
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Re: Logarítmo

Mensagempor Douglasm » Ter Ago 17, 2010 13:35

Olá Danilo. Primeiramente vamos fazer a seguinte substituição:

y = \log_9 x \;\therefore

2y + \frac{2}{y} = 5 \;\therefore

2y^2 - 5y + 2 = 0

Agora resolvemos essa equação para y e depois substituímos novamente:

y = 2 \;\mbox{ou} \; \frac{1}{2}

Substituindo:

\log_9 x = 2 \;\therefore\; x = 81

\log_9 x = \frac{1}{2} \;\therefore\; x = 3

Somando as duas raízes, encontramos que a resposta é a alternativa e, 84. Até a próxima.
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Re: Logarítmo

Mensagempor alexandre32100 » Ter Ago 17, 2010 14:05

{log}_9^x=y\Rightarrow 9^y=x
{log}_x^9=z \Rightarrow x^z=9
2y+2z=5
y=\dfrac{5-2z}{2}
9^{\frac{5-2z}{2}}=x
(9^{\frac{5-2z}{2}})^z=9
\dfrac{5z-2z^2}{2}=1\Rightarrow 2z^2-5z+2=0 \rightarrow S=\{\frac{1}{2},2\}

x^z=9
x'=\sqrt{9}=3
x''=9^2=81
x'+x''=84 \rightarrow \text{aleternativa e}
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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