Otimização de derivadas

por **bilsilva** » Sáb Ago 14, 2010 17:52

Não consigo resolver esse problema:
"Qual é o retângulo máximo inscrito num circulo de raio 12 cm ? "

por **Douglasm** » Dom Ago 15, 2010 22:35

O que queremos maximizar é a área "S", dada por:

S = a.b

Para podermos verificar o ponto de máximo, devemos primeiro escrever "S" em função de uma variável (nesse caso escolherei "a"). É fácil observar a seguinte relação na circunferência:

$\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = 12^2 \;\therefore$

$b = \sqrt{576 - a^2}$

Substituindo em "S":

$S = a.\sqrt{576 - a^2}$

O que temos que fazer agora é encontrar a primeira derivada desta função e igualá-la a zero (posteriormente, a segunda derivada garantirá de que se trata de um ponto de máximo, mas vou omití-la aqui). Logo:

$S' = \frac{576 - 2a^2}{\sqrt{576 - a^2}}$

Igualando a zero:

$\frac{576 - 2a^2}{\sqrt{576 - a^2}} = 0 \;\therefore$

$a = \sqrt{288}$

Finalmente, substituindo na relação existente na circunferência, encontramos:

$\left(\frac{\sqrt{288}}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = 12^2 \;\therefore$

$b = \sqrt{288} = a$

Concluímos que o retângulo com a máxima área a ser inscrito numa circunferência de raio 12 cm é um quadrado de lado $\sqrt{288}$ cm.

Obs: Resolvi omitir também o desenvolvimento dos cálculos mas caso haja alguma dúvida nesse sentido é só dizer.

Até a próxima.

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