Dúvida Função

por **vb_evan** » Sáb Jul 03, 2010 09:18

Tenho este problema de uma frequência, porém não compreendo o que é pedido:

Sabendo que a função f é contínua em |R e:

$f'(x)=\frac{2}{4+(x-2)^{2}} , x\geq1$

$f'(x)=\frac{1}{{x}^{2}} , x<1$

$f(1)=\pi$

qual será a expressão de f que satisfaz as condições acima?

Já substitui o x por 1, mas nenhuma função me dá o pi....e não vejo outra forma de descobrir a função! (será que tenho de igualar uma expressão por pi?)

Agradecia muito uma ajuda da vossa parte

por **MarceloFantini** » Sáb Jul 03, 2010 15:41

Você tem que integrar as expressões pra x>= 1 e x<1, com a condição de que f(1) = $\pi$ .

por **vb_evan** » Dom Jul 04, 2010 07:37

É possível exemplificar para uma das funções?

por **Tom** » Ter Jul 06, 2010 00:59

Se

é definida por duas leis mediante o intervalo do conjunto domínio, então

também o será. Assim:

i)Para $x\ge1$ :

Se $f'(x)=\frac{2}{4+(x-2)^{2}}$

$f=\int\frac{2}{4+(x-2)^{2}}=\int\dfrac{2}{4}\times\dfrac{1}{1+(\frac{x-2}{2})^2}=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+(\frac{x-2}{2})^2}=\frac{1}{2}\int\frac{2[\frac{x-2}{2}]'}{1+(\frac{x-2}{2})^2}=$

$\int\frac{[\frac{x-2}{2}]'}{1+(\frac{x-2}{2})^2}=arctg(\frac{x-2}{2})+C_1$

ii) Para x<1

:

Se $f'(x)=\frac{1}{{x}^{2}}$

$f=\int\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{-1}{x}+C_2$

Além disso

é contínua. Portanto os limites laterais de

quando $x\rightarrow1$ devem ser iguais. Então:

Pela direita: $f(1)=arctg(\frac{1-2}{2})+C_1=\pi\rightarrow C_1=\pi-arctg(\frac{-1}{2})$

Pela esquerda: $f(1)=\frac{-1}{1}+C_2=\pi\rightarrow C_2=\pi+1$

Assim,

$f(x)=arctg(\frac{x-2}{2})+\pi-arctg(\frac{-1}{2})$ , se $x\ge1$

$f(x)=\frac{-1}{x}+\pi+1$ , se x<1

por **vb_evan** » Qua Jul 07, 2010 09:35

Obrigado tom

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