subespaço vetorial

por **leobcastro** » Seg Jun 16, 2008 10:18

Pessoal, meu professor começou a explicar o cálculo de "subespaço vetorial", ele já me explicou 2 vezes porém ainda não entendi bem, até porque ele explicou somente em cima de um único exemplo, o que dificultou mais um pouco. Agora tenho uma lista com 10 exercícios a resolver, preciso de ajuda com pelo menos um para que eu possa resolver o restante.

Quais dos subconjuntos abaixo são subespaço vetoriais de R3
a) w={(x,y,z) tal que y = 0}
b) u={(x,y,z) tal que x=2y-1}
c) v={(x,y,z) tal que z=2y+1}
d) s={(x,y,z) tal que z=2}
e) j={(x,y,z) tal que x=y^2}

Obrigado.
Leonardo

por **Molina** » Seg Jun 16, 2008 13:34

Pela definição de Subespaço Vetorial, temos que dado um Espaço Vetorial $\vartheta$ e $\varphi\subset\vartheta$ um subconjunto não vazio. Dizemos que $\varphi$ é um Subespaço Vetorial se são satisfeitas:
i) $\mu,\nu\in\varphi\Rightarrow\mu+\nu\in\varphi$
ii) $\alpha\;escalar, \mu\in\varphi\Rightarrow\alpha\mu\in\varphi$

vamos ver se ajudar, se nao, avisa que dou outras dicas...
bom estudo!

por **leobcastro** » Seg Jun 16, 2008 14:15

as condições para ser um subespaço vetorial até sei, não consegui calcular usando os valores.

por **Molina** » Seg Jun 16, 2008 14:45

nao é preciso "calcular" nada.
é preciso apenas provar os item i) e ii)
se for verificado que um conjunto respeita esses itens vai ser subespaço.
caso por algum motivo nao dê, nao é subespaço.

infelizmente estou saindo agora e só retorno a noite.
caso tu nao consiga eu tento provar uns pra ti conferir depois.

bom estudo!

por **admin** » Seg Jun 16, 2008 16:51

Olá leobcastro, boa tarde, seja bem-vindo!

Apenas completando sobre as condições para que $\varphi$ seja um subespaço vetorial, também deve ocorrer que o elemento neutro do espaço vetorial $\vartheta$ pertença a $\varphi$ , ou seja:

iii) $0 \in \varphi$

Como um subespaço de um espaço vetorial é, ele mesmo, um espaço vetorial, em verdade, o subespaço deve satisfazer às 8 propriedades do espaço vetorial.
Mas, já sendo $\vartheta$ um espaço vetorial, estas 3 condições acima são suficientes para $\varphi$ ser considerado um subespaço, pois as condições (i) e (ii) equivalem à verificação das duas primeiras de espaço vetorial, e a condição (iii) verifica as 6 demais.

Para você pensar um pouco mais sobre a "idéia" envolvida, considere o exemplo (a).
Veja que a equação y=0

representa um plano:

Reflita sobre o que as propriedades (i), (ii) e (iii) "dizem":
(i) a soma de dois elementos do conjunto deve estar no conjunto!
(ii) um elemento do conjunto multiplicado um número real, também deve estar no conjunto!
(iii) o zero deve estar no conjunto!

A soma de dois elementos deste plano da figura, estará no plano?
Dado um elemento deste mesmo plano, multiplicado por um número real, ainda estará no plano?
E a origem, está no plano?

Esta é a idéia relacionada aos subespaços.

Veja a figura do outro exemplo (b), repare como a origem não está no conjunto:

Analise cada caso, cuidado pois nem sempre são planos, por exemplo o caso (e) onde há uma superfície parabólica ao longo do eixo x, sendo y sempre positivo, cuja visão planificada no plano xy é da função raiz quadrada:

Algebricamente, você pode fazer as provas que o Molina comentou.
Por exemplo, para o conjunto w do caso (a), considere dois pontos pertencentes a w: (x_1, y_1, z_1)

e

Como $(x_1, y_1, z_1) \in w \Rightarrow y_1=0 \Rightarrow (x_1, 0, z_1)$ .
Analogamente, (x_2, y_2, z_2) = (x_2, 0, z_2)

.
Fazendo a soma:
(x_1, 0, z_1) + (x_2, 0, z_2) = (x_1+x_2, 0+0, z_1+z_2) = (x_1+x_2, 0, z_1+z_2)

De modo que $(x_1+x_2, 0, z_1+z_2) \in w$ (pois a coordenada y é nula).

Fazendo o produto:
$\alpha \cdot (x_1, 0, z_1) = (\alpha \cdot x_1, \alpha \cdot 0, \alpha \cdot z_1) = (\alpha \cdot x_1, 0, \alpha \cdot z_1)$
E também, $(\alpha \cdot x_1, 0, \alpha \cdot z_1) \in w$ (pois a coordenada y é nula).

E é claro que $(0, 0, 0) \in w$ , como já comentado anteriormente.

Veja que foram verificadas as condições (i), (ii) e (iii), portanto o subconjunto

é um subespaço vetorial de R^3

.

Em resumo, para as provas algébricas você pode fazer assim, considerando dois elementos do conjunto para a soma e verificando se a soma resultante está no mesmo "formato" da condição inicial. No exemplo (a) a condição inicial era apenas y=0

, então, desde que o elemento resultante tenha a coordenada y nula, ele também pertence ao conjunto. Faça a mesma verificação após multiplicar um elemento por $\alpha$ .

Acredito que agora você consiga provar os outros casos. Segue como mais um exemplo a verificação de (e):
e) $j=\left\{(x,y,z) | x=y^2 \right\}$
Sejam $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2) \in j$ .
Então,
(x_1, y_1, z_1) = (y_1^2, y_1, z_1)

e

Somando os dois elementos:
(y_1^2, y_1, z_1) + (y_2^2, y_2, z_2) = (y_1^2+y_2^2, y_1+y_2, z_1+z_2)

Como $y_1^2+y_2^2 \neq (y_1+y_2)^2 \Rightarrow (y_1^2+y_2^2, y_1+y_2, z_1+z_2) \notin j$ , logo, não vale a condição (i).
Já poderíamos parar por aqui, pois

já não é um subespaço por não atender a uma das condições, mas vamos testar as outras...

Produto por um escalar:
$\alpha \cdot (y_1^2, y_1, z_1) = (\alpha \cdot y_1^2, \alpha \cdot y_1, \alpha \cdot z_1)$

Como $\alpha \cdot y_1^2 \neq (\alpha \cdot y_1)^2 \Rightarrow (\alpha \cdot y_1^2, \alpha \cdot y_1, \alpha \cdot z_1) \notin j$ , portanto, não vale (ii).

Sobre o zero:
Partindo de (0,0,0)

, verifica-se que: 0 = 0^2

, ou seja, vale a condição (iii), de modo que $(0,0,0) \in j$ .
Note que apenas a condição (iii) foi verificada.

Espero ter ajudado!

por **leobcastro** » Seg Jun 16, 2008 19:45

Ah legal ficou bem claro agora, era essa visão que gostaria de ter na aula.
Obrigado

por **leobcastro** » Ter Jun 17, 2008 11:45

Fiz ontem a tarde para com as dicas passadas.

no meu exercício c) z=2y+1 não é subespaço vetorial pois a condição ii e iii não satisfaz

e no exercício d) z= 2 também não, se eu não estive errado a condição ii seria $2+2 = 4 \neq z=2$

por **Molina** » Ter Jun 17, 2008 13:51

perfeita a complementação, fabio.
um dia eu chego a esse nível.

abr.

por **Heidji** » Qua Jan 27, 2010 23:16

Olá pessoal, eu estou com um exercício que a resposta diz que um certo conjunto não é uma subespaço vetorial, mas aplicando as provas não consegui chegar a esta conclusão:

Enunciado: O conjunto $X \subset {\Re}^{3}$ formado pelos vetores v=(x,y,z) tais que x.y = 0

Minha tentativa de resolução:

Verificação da soma:

$\left({x}_{1}, {y}_{1}, {z}_{1}\right) = \left({x}_{2}, {y}_{2}, {z}_{2} \right)\Rightarrow \left({x}_{1}, {y}_{1}, {z}_{1}\right) + \left({x}_{2}, {y}_{2}, {z}_{2} \right) = \left({x}_{1}+{x}_{2}, {y}_{1}+{y}_{2}, {z}_{1}+{z}_{2} \right) \Rightarrow \in{X}$

Verificação do Produto:

$\alpha\cdot\left({x},{y},{z} \right) = \left(\alpha\cdot{x},\alpha\cdot{y},\alpha\cdot{z} \right)$

Como visto, não sei como posso "linkar" as verificações com a compração de ${[algo]} = {x}\cdot{y}$