Olá
leobcastro, boa tarde, seja bem-vindo!
Apenas completando sobre as condições para que
seja um subespaço vetorial, também deve ocorrer que o
elemento neutro do espaço vetorial
pertença a
, ou seja:
iii)
Como um subespaço de um espaço vetorial é, ele mesmo, um espaço vetorial, em verdade, o subespaço deve satisfazer às 8 propriedades do espaço vetorial.
Mas, já sendo
um espaço vetorial, estas 3 condições acima são suficientes para
ser considerado um subespaço, pois as condições (i) e (ii) equivalem à verificação das duas primeiras de espaço vetorial, e a condição (iii) verifica as 6 demais.
Para você pensar um pouco mais sobre a "idéia" envolvida, considere o exemplo (a).
Veja que a equação
representa um plano:
Reflita sobre o que as propriedades (i), (ii) e (iii) "dizem":
(i) a soma de dois elementos do conjunto deve estar no conjunto!
(ii) um elemento do conjunto multiplicado um número real, também deve estar no conjunto!
(iii) o zero deve estar no conjunto!
A soma de dois elementos deste plano da figura, estará no plano?
Dado um elemento deste mesmo plano, multiplicado por um número real, ainda estará no plano?
E a origem, está no plano?
Esta é a idéia relacionada aos subespaços.
Veja a figura do outro exemplo (b), repare como a origem não está no conjunto:
Analise cada caso, cuidado pois nem sempre são planos, por exemplo o caso (e) onde há uma superfície parabólica ao longo do eixo x, sendo y sempre positivo, cuja visão planificada no plano xy é da função raiz quadrada:
Algebricamente, você pode fazer as provas que o Molina comentou.
Por exemplo, para o conjunto w do caso (a), considere dois pontos pertencentes a w:
e
Como
.
Analogamente,
.
Fazendo a soma:
De modo que
(pois a coordenada y é nula).
Fazendo o produto:
E também,
(pois a coordenada y é nula).
E é claro que
, como já comentado anteriormente.
Veja que foram verificadas as condições (i), (ii) e (iii), portanto o subconjunto
é um subespaço vetorial de
.
Em resumo, para as provas algébricas você pode fazer assim, considerando dois elementos do conjunto para a soma e verificando se a soma resultante está no mesmo "formato" da condição inicial. No exemplo (a) a condição inicial era apenas
, então, desde que o elemento resultante tenha a coordenada y nula, ele também pertence ao conjunto. Faça a mesma verificação após multiplicar um elemento por
.
Acredito que agora você consiga provar os outros casos. Segue como mais um exemplo a verificação de (e):
e)
Sejam
.
Então,
e
Somando os dois elementos:
Como
, logo, não vale a condição (i).
Já poderíamos parar por aqui, pois
já não é um subespaço por não atender a uma das condições, mas vamos testar as outras...
Produto por um escalar:
Como
, portanto, não vale (ii).
Sobre o zero:
Partindo de
, verifica-se que:
, ou seja, vale a condição (iii), de modo que
.
Note que apenas a condição (iii) foi verificada.
Espero ter ajudado!