Números Complexos na forma trigonométrica

por **geriane** » Seg Jul 05, 2010 12:16

Calcule o módulo do complexo ${(\frac{4}{1-i\sqrt[2]{3}}})^{-8}$ .
Obrigada!

por **Tom** » Seg Jul 05, 2010 12:57

$(\dfrac{4}{1-i\sqrt{3}})^{-8}=(\dfrac{1-i\sqrt{3}}{4})^8=\dfrac{(1-i\sqrt{3})^8}{4^8}$

Analisemos : $z=1-i\sqrt{3}$ :

Usando as definições: |z|=2

e o argumento de

é $\theta=\dfrac{5\pi}{6}$

Assim, escrevendo

na forma polar: $z=2(cos\dfrac{5\pi}{6}+i.sen\dfrac{5\pi}{6})$ e usando a propriedade de potenciação para complexos:

$z^8=2^8(cos\dfrac{8.5\pi}{6}+i.sen\dfrac{8.5\pi}{6})=2^8(cos\dfrac{20\pi}{3}+i.sen\dfrac{20\pi}{3})$ e , com a redução do arco ao primeiro quadrente,
$z^8=2^8(cos\dfrac{2\pi}{3}+i.sen\dfrac{2\pi}{3})$

Voltando a expressão: $\dfrac{(1-i\sqrt{3})^8}{4^8}=\dfrac{2^8(cos\dfrac{2\pi}{3}+i.sen\dfrac{2\pi}{3})}{2^{16}}=\dfrac{(cos\dfrac{2\pi}{3}+i.sen\dfrac{2\pi}{3})}{2^8}=\dfrac{\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}i}{2}}{2^8}$

Finalmente, o valor da expressão é: $\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{512}$

por **geriane** » Seg Jul 05, 2010 13:34

Tom, fico muito agradecida só que o resultado final do exercício é 1/256 e não estou conseguindo chegar a esse resultado eu fiz dessa maneira que você fez só q não consigo chegar ao resultado.

por **Elcioschin** » Seg Jul 05, 2010 16:10

Tom/Geriane

A solução do Tom, esta perfeita do ponto de vista do encaminhamento. Faltou apenas:

a) Corrigir um pequeno erro de cálculo do argumento
b) Calcular o módulo no final

z = 1 - i*V3 ----> z = 2*(1/2 - i*V3/2) ----> ângulo do 4º quadrante ---> z = 2*[cos(5pi/3) + isen(5pi/3)]

Assim ----> teta = 5pi/3

z^8 = (2^8)*[cos(8*5pi/3) + i*sen(8*5pi/3)] ----> z = 2*[cos(40*pi/3) + i*sen(40*pi/3)]

Reduzindo ao 1º quadrante ---> z = (2~8)*[cos(4pi/3) +i*sen(4pi/3)]

z = (2^8)*[- 1/2 - i*V3/2)

Neste caso o valor da expressão é (- 1 - V3*i)/512

|z|² = (1/512)²*[(-1)² + (-V3)²] ---> |z|² = (1/512)²*(1 + 3) ----> |z|² = 4/512² ----> |z|² = 2²/512²

|z = 2/512 ----> |z| = 1/256