Soma de coeficientes

por **Jonatan** » Qua Jun 16, 2010 15:22

No desenvolvimento de ${(x+2)}^{n}$ há 10 termos. Qual a soma dos coeficientes destes termos?

Eu tenho esta questão resolvida aqui, entretanto, não estou conseguindo interpretar sua resolução... o que sugere é o seguinte:

Foi feito o desenvolvimento de ${(x+2)}^{9}$ , pois como há 10 termos, significa que o expoente do binômio todo é 9... Feito o desenvolvimento, atribui-se 1 ao valor de x (x = 1) e ficou assim:

${(1+2)}^{9}$ = ${(3)}^{9}$ .
Só que eu não entendi o motivo de jogar o 1 no lugar de x... Alguém pode me ajudar? Grato.

por **Lucio Carvalho** » Qua Jun 16, 2010 16:29

Olá Jonatan,
Primeiramente, fazemos o desenvolvimento de ${(x+2)}^{9}$ . Obtemos:

${(x+2)}^{9}=9C0.{x}^{9}+9C1.{x}^{8}.2+9C2.{x}^{7}.{2}^{2}+9C3.{x}^{6}.{2}^{3}+9C4.{x}^{5}.{2}^{4}+9C5.{x}^{4}.{2}^{5}+9C6.{x}^{3}.{2}^{6}+9C7.{x}^{2}.{2}^{7}+9C8.x.{2}^{8}+9C9.{2}^{9}$

Como podemos verificar, a soma dos coeficientes dos 10 termos é:

$9C0+9C1.2+9C2.{2}^{2}+9C3.{2}^{3}+9C4.{2}^{4}+9C5.{2}^{5}+9C6.{2}^{6}+9C7.{2}^{7}+9C8.{2}^{8}+9C9.{2}^{9}$

= 1+9.2+36.4+84.8+126.16+126.32+84.64+36.128+9.256+512=1+18+144+672+2016+4032+5376+4608+2304+512=19683

1+9.2+36.4+84.8+126.16+126.32+84.64+36.128+9.256+512=1+18+144+672+2016+4032+5376+4608+2304+512=19683

Espero ter ajudado!

por **Jonatan** » Qua Jun 16, 2010 17:03

Olá, Lúcio. Entendi certinho o que você fez, me ajudou muito. Entretanto, teria uma forma mais rápida de fazer este exercício, visto que ''9'' já é um expoente considerável de desenvolvê-lo. Digo isto por que essas questões são de vestibulares, e tais concursos exigem cada vez mais rapidez na resolução das questões. Mesmo assim, muito obrigado pela atenção em resolver o exercício para mim.

por **MarceloFantini** » Qua Jun 16, 2010 21:03

Um exemplo simples para ilustrar o porque que x = 1 ajuda nestas situações: considere o polinômio do segundo grau ax^2 +bx +c

. Imagine que eu queira a soma dos coeficientes. Para x = 1, temos: a1^2 + b1 + c = a + b + c

, que é a soma dos coeficientes.Ao substituir x por 1, você está multiplicando todos os coeficientes por um número neutro, que não altera o produto, sobrando apenas os coeficientes.

por **Jonatan** » Qua Jun 16, 2010 21:13

É verdade, Fantini... Lendo o que você explicou dá para entender e agora mesmo eu fiz mais exercícios e igualei os coeficientes a 1 e deu tudo certo

Essa propriedade de fazer x = 1 para achar a soma dos coeficientes me recorda de alguma coisa das aulas de polinômios, mas não estou certo disto nem cheguei no assunto ainda, estudarei polinômios um pouco mais pra frente! Muito obrigado, me cadastrei no fórum hoje mesmo e já aprendi muito em um só dia... é ótimo saber que existem pessoas prestativas e atenciosas colaborando com o pessoal que estuda sozinho em casa, que é o meu caso. Muito obrigado, mais uma vez!

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