Calcular os termos da PG

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Calcular os termos da PG

Mensagempor Carolziiinhaaah » Qua Jun 16, 2010 14:16

Numa PG de três termos, o primeiro termo, a razão, o último termo e a soma dos termos formam, nessa ordem, uma PA. Calcule os termos da PG.

gabarito: \left( \frac{3}{5}, \frac{9}{5}, \frac{27}{5} \right) ou (-1, 1, -1)
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Re: Calcular os termos da PG

Mensagempor Tom » Sáb Jul 03, 2010 00:34

Seja P:\{p_1,p_2,p_3\} uma P.G. de três termos e q a sua razão, conforme o enunciado: p_1,q,p_3,p_1+p_2+p_3 é uma P.A.

Usando uma propriedade de progressão aritmética: 2q=p_1+p_3 e usando a definição de progressão geométrica decorre em:
2q=p_1+p_1q^2, isto é, p_1q^2-2q+p_1=0 (i)

Analogamente, 2p_3=q+p_1+p_2+p_3, isto é, p_3=q+p_1+p_2 e decorre em : p_1q^2=q+p_1+p_1q (ii)

Subtraindo (i) de (ii): q=2p_1+p_1q, isto é, p_1=\dfrac{q}{2+q} (iii) e aplicando tal relação em (i), temos:

\dfrac{q^3}{2+q}-2q+\dfrac{q}{2+q}=0 \rightarrow q^3-2q(2+q)+q=0\rightarrow q^3-2q^2-3q=0, isto é, q(q^2-2q-3)=0

Assim, q=0 ou q^2-2q-3=0 cujas raízes são q=-1 ou q=3


Através de (iii), portanto:

Se q=0, então: p_1=0 e, nesse caso, os termos da P.G. são: p_1=p_2=p_3=0

Se q=-1, então: p_1=-1 e, nesse caso, os termos da P.G. são: p_1=-1;p_2=1;p_3=-1

Se q=3, então: p_1=\dfrac{3}{5} e, nesse caso, os termos da P.G. são: p_1=\dfrac{3}{5};p_2=\dfrac{9}{5};p_3=\dfrac{2 7}{5}

Eis as progressões geométricas:

(0,0,0) ou \left( \frac{3}{5}, \frac{9}{5}, \frac{27}{5} \right) ou (-1, 1, -1)
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