Soma

por **manuoliveira** » Dom Mai 30, 2010 18:23

1) (PUC - RJ) A soma alternada $\left( \begin{array}{ccc} 10 \\ 0 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{ccc} 10 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 10 \\ 2 \end{array} \right) - ..... + \left( \begin{array}{ccc} 10 \\ 10 \end{array} \right)$ de coeficientes binomiais vale:

Resposta: 0

2) Não entendi porque a afirmativa abaixo é verdadeira:
$\left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 4 \\ 1 \end{array} \right) + .... + \left( \begin{array}{ccc} 100 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 5050 \\ 1 \end{array} \right)$

Agradeço desde já quem puder me ajudar!!

por **Douglasm** » Dom Mai 30, 2010 20:08

Olá Manu. Vamos às resoluções:

1) Na pior das hipóteses, você pode fazer as combinações e somá-las. Assim ficamos com:

1 - 10 + 45 - 120 + 210 - 252 + 210 - 120 + 45 - 10 + 1 = 0

Mas existe um jeito mais simples. É só lembrarmos de como é feito o desenvolvimento de um binômio:

$(x + y)^n = \left(\begin{array}{ccc}n \\ 0 \end{array}\right)x^n y^0 + \left(\begin{array}{ccc}n \\ 1 \end{array}\right)x^{n-1} y + ... + \left(\begin{array}{ccc}n \\ n-1 \end{array}\right)xy^{n-1} + \left(\begin{array}{ccc}n \\ n \end{array}\right)x^0y^n$

Vemos que para o binômio $(1-1)^{10}$ , temos:

$(1-1)^{10} = \left(\begin{array}{ccc}10 \\ 0 \end{array}\right)1^{10}(-1)^0 + \left(\begin{array}{ccc}10 \\ 1 \end{array}\right)1^{9}(-1) + ... + \left(\begin{array}{ccc}10 \\ 9 \end{array}\right)1(-1)^{9} + \left(\begin{array}{ccc}10 \\ 10 \end{array}\right)1^0(-1)^{10}$

Que é exatamente essa soma alternada que você procura. Olhando deste modo, é evidente que a soma é igual a zero
( 1-1=0 =P).

2) Como essas combinações são todas "um a um", o que temos na realidade é:

1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = 5050

A afirmação está correta. Essa é a soma dos 100 primeiros números naturais:

$S_n = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{100 . 101}{2} = 5050$

Até a próxima.

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