Desigualdade!

por **Questioner** » Dom Mai 16, 2010 17:13

Olá,

Estou com uma dificuldade na seguinte desigualdade (muito tempo sem fazer exercícios dessa forma). Será que dá para dar uma luz?

-x < x² < 2x + 1

Eu consegui fazer algumas divisões e cheguei em:

$0 < x < \frac{3x + 1}{(x+1)}$

Gabarito é:

e $1+ \sqrt[]{2}$

por **Douglasm** » Dom Mai 16, 2010 18:37

Façamos novamente por partes:

1ª condição:

$-x < x^2 \: \therefore \: x^2 + x > 0 \: \therefore \: x(x+1) > 0 \: \therefore \: x > 0 \: ou \: x < -1$

(Isso pode ser facilmente notado pelo gráfico da função. Como a concavidade desta é voltada para cima, os valores maiores que zero serão aqueles que não estarão entre as raízes.)

2ª condição:

$x^2 < 2x + 1 \: \therefore \: x^2 - 2x - 1 < 0 \: \therefore \: 1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$

(Aqui os valores da função menores que zero estarão entre as raízes.)

Unindo as duas condições:

$0 < x < 1 + \sqrt{2}$

Até a próxima.

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