Cálculo de Limites

por **Bruhh** » Qui Abr 22, 2010 15:01

Alguém, por favor, me ajuda com os cálculos de limites?

Tenho, por exemplo, o limite abaixo:
Lim $\frac{x³+3x²-x-3}{x³-x²+2}$
x->-1

Se eu substituir -1 no denominador vou obter 0, então pelo método de Briot Rufini tento retirar a indeterminação, mas minha professora explicou que o último número deve zerar porém não é o que acontece:
-> primeiro repito o primeiro número para baixar o grau, depois multiplico 1 por -1 e somo com o -1 do x², que fica -2, depois o multiplico por -1 e somo com 2, o que vai resultar em 4, e não em zero como deveria ser!
x²-2x+4

Eu estou calculando errado ou último número pode ser qualquer número? O método do Rufini serve para baixar o grau de qualquer expressão?

Obrigada :y:

por **MarceloFantini** » Qui Abr 22, 2010 17:29

Bruh, eu fiz a divisão no braço em cima e embaixo por (x+1)

. e resultou que:

x^3 +3x^2 -x -3 = -3x(x+4)(x+1)

Então temos que $\lim_{x \to -1} = \frac {-3x(x+4)(x+1)} {2x(x-2)(x+1)} = \lim_{x \to -1} = \frac {-3 \cdot -1 \cdot (-1 +4)} {2 \cdot -1 \cdot (-1 -2)} = \frac {3}{2}$

É prudente conferir minhas contas.

por **Bruhh** » Qui Abr 22, 2010 20:40

Bom na minha apostila o resultado é $-\frac{4}{5}$
Eu observei que se substituir -1 no numerador o resultado é -4, só no denominador que zera, mas eu já tentei por divisão de polinomio e por Rufini mas eu não consigo chegar no resultado nunca.
Voce sabe me dizer se o método de Rufini serve para todo o tipo de equação?E se tem que ser 0 o último número?

Obrigada

por **Douglasm** » Qui Abr 22, 2010 21:57

Olá Bruhh. Eu fiz pelo Briot-Ruffini e deu certinho, veja só:

-1 é raiz tanto do numerador quanto do denominador:

(-1)^3 + 3(-1)^2 - (-1) - 3 = 0

Deste modo, sabemos que na fatoração de ambos os polinômios consta o fator (x+1)

. Agora devemos aplicar o método de Briot-Ruffini (e sim, ele serve para abaixar o grau de qualquer polinômio):

: briotruffini.JPG (7.99 KiB) Exibido 9813 vezes

(N = numerador ; D = Denominador)

Simplificando, o algoritmo é composto dos seguintes passos:

1º - Colocar os coeficientes de x^n

, $x^{n-1}$ , $x^{n-2}$ , etc. (sem esquecer das potências de x que possuem coeficiente igual a zero)

2º - Determinar um divisor (uma raiz do polinômio, no nosso caso o -1)

3º - Realizar as seguintes operações: Repetir o primeiro coeficiente na linha de baixo; Multiplicar o divisor por ele; Somar o resultado com o próximo coeficiente; Abaixar essa soma e repetir o processo até o final. (Por exemplo, a seqüencia de operações na divisão do numerador é: 1º. abaixar o 1 ; 2º. -1 . 1 = -1 ; 3º. -1 + 3 = 2 ; 4º. -1 . 2 = -2 ; 5º. -2 + (-1) = -3 ; 6º. -1 . -3 = 3 ; 7º. 3 + (-3) = 0)

Os números em vermelho são os novos coeficientes do polinômio. O limite agora toma a forma:

$\lim_{x\rightarrow {-1}} \frac{(x^2 +2x -3)(x+1)}{(x^2 - 2x+2)(x+1)}$ = $\lim_{x\rightarrow {-1}} \frac{x^2 +2x -3}{x^2 - 2x+2} = \frac{-4}{5}$

Espero ter ajudado. Até a próxima.

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