Provando sobre neperiano e ??

por **Questioner** » Ter Abr 20, 2010 22:20

Olá!

Há algum tempo eu, durante um exercício, provei que

${e}^{\pi}> {\pi}^{e}$

Infelizmente, não consigo provar novamente. Alguém pode me dar uma luz? Não me lembro nem por onde começar...

Agradeço desde já!

Abraços.

por **Elcioschin** » Qua Abr 21, 2010 22:06

pi^e ~= 22,459

e^pi ~= 23,140

Que outra prova você quer?

por **Questioner** » Sex Abr 23, 2010 19:26

Por cálculo é possível se determinar que

.

Quero saber como essa conclusão foi feita utilizando cálculo. Se eu quisesse só a resposta, uma calculadora bastaria, como você percebeu.

por **Molina** » Sex Abr 23, 2010 19:38

Questioner escreveu:Por cálculo é possível se determinar que .

Quero saber como essa conclusão foi feita utilizando cálculo. Se eu quisesse só a resposta, uma calculadora bastaria, como você percebeu.

Boa noite.

Você consegue provar essa sua afirmação?

Acho que você poderia tirar o limite de ambos os lados, com x tendendo a $\pi$ , assim:

$\lim_{x\rightarrow \pi}{e}^{x} > \lim_{x\rightarrow \pi}{x}^{e}$

Será que é daqui pra frente?

Questão interessante...

por **MarceloFantini** » Sáb Abr 24, 2010 01:13

Agora a questão ficou mais forte, você não quer provar que vale apenas pra pi, mas para qualquer x. Não sei como ajudar, mas fui no wolframalpha dar uma checada e acho que não é para todo x, tem que estabelecer uma restrição.

por **Elcioschin** » Sáb Abr 24, 2010 10:07

A curva de e^x é uma exponencial padrão.
A curva de x^e é similar à curva e^x e realmente fica sempre abaixo da primeira.

Eu não conheço a demonstração de que e^x > x^e, mas acredito que ela exista.

Partindo do princípio de que a demonstração existe, ela é deve ser válida para qualquer valor de x, logo deve valer para x = pi, isto é, e^pi > pi^e.

Suponho que a prova deve partir de

Limite (1 + 1/x)^x = e
x-->oo

Limite [(1 + 1/x)^x]^x = e^x -----> Limite (1 + 1/x)^x² = e^x
x-->oo .................................x-->oo

por **Questioner** » Sáb Abr 24, 2010 12:18

Andei pensando, se pensássemos na derivada das curvas criadas, teríamos duas derivadas que nos diriam, pela inclinação, quem é maior - sempre. Então, eu derivei e encontrei:

${e}^{x}$
$\frac{d({e}^{x})}{dx}={e}^{x}$

${x}^{e}$
$\frac{d({e}^{x})}{dx}= e {x}^{e-1}$

Se fizéssemos uma diferença entre as curvas (como um sólido de rotação) e integrássemos (para achar a área sob), creio que encontraríamos a diferença numérica, certo? De - 0,682 (aproximadamente).

por **Questioner** » Sáb Abr 24, 2010 12:42

Acho que encontrei a resposta. Vejam se confere, por favor:

Temos que considerar que:
${e}^{\pi}> {\pi}^{e}$ somente se $ln ({e}^{\pi})> ln ({\pi}^{e})$ , sendo assim:
$\pi > e\times ln(\pi)$

Isso só será verdade se:

$e < \frac{\pi}{ln(\pi)}$

Isso nos leva a

$f(x) = \frac{x}{ln(x)}$

Isso, numericamente, confere.

Ou mesmo se fizermos ao contrário:

$\pi > e\times ln(\pi)$ e substituirmos numericamente, encontraremos que $\pi > 3.112$

Será que é isso?