apótema

por **cristina** » Qui Abr 15, 2010 09:33

Bom dia estou precisando de uma ajuda...

tenho um problema: Sendo a a medida do apótema de um hexágono regular, a area desse hexagono vale:

$3{a}^{2} \sqrt[]{3}$
$2{a}^{2} \sqrt[]{3}$
$3{a}^{2} \sqrt[]{2}$
$2{a}^{2} \sqrt[]{2}$
Essas são as alternativas possiveis, mas nos exemplos que consigo nos livros geralmente vem em fração, por favor se alguem puder me ajudar agradeço....

por **Douglasm** » Qui Abr 15, 2010 09:52

Ao desenharmos um hexágono, podemos dividí-lo em 6 triângulos com vértices no centro do polígono. Sendo um hexágono regular, todos os triângulos são equiláteros (só para garantir, observe que se dividirmos o ângulo de 360º no centro pelos 6 triângulos, veremos que cada um possui um ângulo de 60º, como o hexágono é regular eles também são isósceles, nos dizendo então que eles são todos equiláteros.). Deste modo, sendo o apótema igual a a e considerando x igual ao lado do triângulo, temos:

x . sen 60^o = a

$x = \frac{a}{sen60^o}$

$x = \frac{2a}{\sqrt{3}}$

$x = \frac{2a \sqrt{3}}{3}$

Já temos então o lado do hexágono (assim como dos triângulos equiláteros que o formam) e a altura (apótema). Agora é só observar que a área S do hexágono é também a área dos 6 triângulos:

$S = 6 . \frac{x . a}{2}$ (ou de outro modo, podemos dizer que: S = p . a