Função Quadratica

[guijermous]

(UFSCar-SP-2009) A parábola determinada pela função f: R->R tal que f(x) = ax^2+bx+c, com a != 0 (diferente de 0), tem vértice nas coordenadas (4,2). Se o ponto de coordenadas (2,0) pertence ao gráfico desta função, então o produto abc é igual a:

Eu não sei a resposta pq foi de um simulado que eu fiz, e essa questão foi a única que não consegui fazer! Poderiam me ajudar?
Abras

[MarceloFantini]

Note que o ponto (2,0) é raiz da equação. Agora lembre que a abscissa do vértice é a média aritmética das raízes, então a outra raíz é (6,0). A função f(x) então será:



Substitua o valor do vértice, encontre a, e depois ache a equação e multiplique os coeficientes.

[guijermous]

não entendi como vc achou a outra raiz!
poderia explicar mais detalhadamente?
obrigado

[MarceloFantini]

Claro. A abscissa do vértice é a média aritmética das raízes, logo:



Nós temos que uma raíz é 2 e que a abscissa do vértice é 4, então:







Qualquer outra dúvida é só perguntar.

[Molina]

não entendi como vc achou a outra raiz!
poderia explicar mais detalhadamente?
obrigado

Boa tarde.

Você concorda que o ponto (2,0) é uma das raízes da equação, correto? E que existe outro ponto do tipo (x,0) que também é raíz da equação. Usando a outra informação do enunciado, que diz que o vértice é o ponto (4,2), temos que esse ponto, se traçarmos uma reta vertical por ele, é o que dá a simetria da equação. Esta reta cortará o ponto x=4. Ou seja, de 2 a 4, tem-se 2 unidades, esta será a mesma unidade que teremos que considerar para a direita do ponto x=4. Ou seja, a outra raiz da equação é (6,0).

Fiz um desenho pra complementar a explicação do Fantini: