exerc.resolvido

por **adauto martins** » Ter Nov 12, 2019 18:16

(EN-escola naval-exame 1937)
achar os valores p e q,de modo que a equaçao
${x}^{4}-2{x}^{3}+px+q=0$
seja reciproca e depois resole-la.

por **adauto martins** » Ter Nov 12, 2019 19:40

soluçao:
uma equaçao polinomial é dita reciproca quando os coeficiente obedecem a certa simetria,tais que:
${a}_{n}=(+,-){a}_{0}...{a}_{n-1}=(+,-){a}_{1}... {a}_{n-2}=(+,-){a}_{2}...$
ou seja
${a}_{k}=(+,-){a}_{n-(k-1)}...k\in[1,2,...,n]$
ou de certa forma essa simetris se traduz nos "coeficientes equidistantes" da equaçao polinomial.
em nosso exercicio,temos que,pela restriçao(condiçao)colocada:

${a}_{4}=1=(+,-)q...{a}_{3}=-2=(+,-)p...$

aqui temos dois polinomios,os de 1° especie,no caso
q=1...p=-2...

${x}^{4}-2{x}^{3}-2x+1=0(1)$
em que os "coeficientes equidistantes" sao iguais...
e
q=-1...p=2...

${x}^{4}-2{x}^{3}+2x-1=0(2)$
esse de segunda especie,onde os "coeficientes equidistantes sao simetricos".

"teorema:toda equaçao polinomial de segunda especie e grau par,admite 1 e -1 como raizes,logo:

$p(x)={x}^{4}-2{x}^{3}+2x-1=0$

é tal que:
p(x)=(x-(-1).(x-1).r(x)

p(x)=(x-(-1).(x-1).r(x)=(x+1).(x-1).r(x)

onde r(x) tera grau 2,e mais facil soluçao...resolva-o...

a equaçao de 1° especie par,tem as soluçoes de busca de raizes racionais,como fizemos anteriormente...

por **adauto martins** » Ter Nov 12, 2019 22:19

ps-nas equaçoes reciprocas é tal que se r é p(r)=0,logo p(1/r)...

intervalo de possiveis raizes reais e´

$r=1+\sqrt[4-3]{\left|max.(1,-2,2,1)/1 \right|}=1+\left|2 \right|=3 [-3,3]$

possiveis raizes racionais (p/q)...(-1,1)...e etc...

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