exercicio resolv.funçoes

por **adauto martins** » Qua Jun 13, 2018 13:16

seja $f:\Re\rightarrow\Re$ ,definida por:
f(x+y)=f(x.y)

...mostre que:
a) f nao admite funçao inversa.
b)x,y sao necessariamente numeros irracionais.
soluçao:
a)
seja z=x+y

,logo:

f(z)=f(x+y)=f(x.y)=f((-x).(-y))=f(-(x+y))=f(-z)...

portanto f é uma funçao par,e nao é injetiva(mostre isso),logo nao admite funçao inversa.
b)
seja $x=y=2\Rightarrow f(2+2)=f(2.2),2\in N...$
seja $x=1,y=-(1/2)\Rightarrow f(1+(-(1/2))=f(1.(-(1/2))...1\in N,-(1/2)\in Q...$

por **adauto martins** » Qui Jun 14, 2018 13:21

caros colegas do site,
a letra b) que fiz esta incompleta,e com erros.farei uma pequena esplanaçao e logo,qudo puder a resolverei por completo.
pela letra a)sendo f nao injetiva,e portanto nao admite inversa nao podemos ter:
x+y=x.y

,pois teriamos q. ter:
$({f}^{-1}of)(x+y)=({f}^{-1}of)(x.y)\Rightarrow x+y=x.y...$ ...

por **adauto martins** » Sex Jun 15, 2018 17:03

voltemos a explanaçao,ao tema anterior.
como visto antes,nao podemos ter x+y=x.y

,pois invalidaremos a condiçao de nao existencia da funçao inversa.
logo,necessariamente teremos q. ter $x+y\neq x.y$ .entao busquemos um $t\in \Re$ , $t\neq 1,t\neq -1$ (pq $t\neq -1$ ?),tal que x+y=t.(x.y)

...logo:
$x+y=t.(x.y)\Rightarrow y=t.(x.y)-x=x.(t.y-1)\Rightarrow (y/x)=t.y-1=k,k\in Z...$ .
$y=(K+1)/t=((k/t)+(1/t))\Rightarrow$ ,para q. $y\in Z$ ,teriamos q. ter t=1

,ao qual invalidaria a nossa condiçao de nao existencia da inversa...logo, y nao pode ser inteiro...
na mesma deixa,vamos supor que:
y=(k+1)/t=(p/q),mdc(p,q)=1...

$\Rightarrow p=q((k/t)+(1/t))$
para q. $p\in Z$ ,t teria q. ser igual a um,o q. como visto anteriormente contradiz a condiçao de nao inversa...logo y nao pode ser racional...modo analogo para x...entao x,y teem q. ser irracionais...

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