derivadas analise do comportamento da função

por **caciano-death** » Qua Jan 27, 2016 15:08

por **Baltuilhe** » Sáb Fev 20, 2016 19:55

Boa tarde!

Domínio da função:
$\\f(x)=\ln(x^2-x)\\x^2-x>0\\x(x-1)>0\\x<0\text{ ou }x>1$

Derivando:
$\\f(x)=\ln(x^2-x)\\f'(x)=\frac{1}{x^2-x}(x^2-x)'=\frac{2x-1}{x^2-x}=\frac{2x-1}{x(x-1)}$

Para obter os pontos críticos devemos encontrar os valores onde a derivada não existe ou valha zero. Portanto:
$\\f'(x)=0\\2x-1=0\\x=\frac{1}{2}$

Este ponto não pertence ao domínio.

Não há derivada em x=0 e em x=1, mas também não pertencem ao domínio.

Analisando o sinal da derivada primeira:
2x-1 ==> x=1/2 ==> x<1/2 (negativa) x>1/2 (positiva)
x ==> x=0 ==> x<0 (negativa) x>0 (positiva)
x-1 ==> x=1 ==> x<1 (negativa) x>1 (positiva)

Código: Selecionar todos: 2x-1------(-)----------------(-)------(1/2)-------(+)-----------------(+)------- x----------(-)------(0)------(+)-------------------(+)-----------------(+)------- x-1--------(-)---------------(-)--------------------(-)------(1)-------(+)-------- f'(x)-------(-)-----(0)-------(+)------(1/2)-------(-)------(1)-------(+)-------- f'(x)=(2x-1)/((x(x-1))

Então, para valores menores do que 0 a derivada é negativa, portanto, função DECRESCENTE.
Para valores maiores do que 1 a derivada é positiva, portanto, função CRESCENTE.

a) Não há pontos de mínimo local.
b) Não há pontos de máximo local.
c) f(x) é crescente para x>1
d) f(x) é decrescente para x<0

Espero ter ajudado!