Função Quadratica - FUVEST

por **guijermous** » Ter Mar 02, 2010 17:40

Fui resolver os exercícios da parte do vestibular do meu livro, e como desejo prestar para a USP, resolvi fazer uns da Fuvest e não consegui. Poderiam me ajudar?

1) Para que a parábola y = 2x^2 + mx + 5

NÃO intercepte a reta y = 3 , devemos ter quais valores de M ? ( tenho mínima idéia)
2) Os pontos (0,0) e (2,1) estão no gráfico de uma função quadrática F. O mínimo de F é assumido no ponto de abcissa x = - 1/4

. Logo, o valor de F(1) é?
3) O valor em reais de uma pedra semipreciosa é sempre numericamente igual ao quadrado de sua massa, em gramas. Infelizmente uma dessa pedras, de 8 gramas, caiu e se partiu em dois pedaços. O prejuízo foi o maior possível. Em relação ao valor original , o prejuízo foi de? ( não sei como calcular o maior possível)
4) O conjunto solução de (-x^2+7x-15) . (x^2+1) < 0

é? (deu resultado diferente)

Todos esses são da Fuvest e não consegui faze-los. Se poderem me ajudar, dar dicas, qualquer ajuda estou grato
Obrigado
:y:

por **MarceloFantini** » Ter Mar 02, 2010 21:48

Boa noite.

Só encontrei um pouquinho de tempo pra resolver a 2 e um pouco da 3 (talvez).

2) Se é uma função quadrática, é uma função do tipo ax^2 +bx +c

. Se o ponto (0,0)

pertence a essa função, então:

f(0) = a0^2 +b0 +c = 0

Logo,

.

Como o ponto (2,1)

também pertence a essa função:

f(2) = a2^2 +2b = 1

Se existe um mínimo, então a > 0

. Como o valor mínimo é a média aritmética das raízes, e uma delas é zero:

$\frac{0+x_2}{2} = \frac{-1}{4}$

$x_2 = \frac{-1}{2}$

Substituindo então:

$f(\frac{-1}{2}) = a(\frac{-1}{2})^2 - \frac{b}{2} = 0$

$\frac{a}{4} = \frac{b}{2}$

a = 2b

Agora achando os dois valores pelo sistema, encontrei que $b=\frac{1}{10}$ e $a = \frac{1}{5}$ . A função então é:

$f(x) = \frac{x^2}{5} + \frac{x}{10}$

$f(1) = \frac{1}{5} + \frac{1}{10}$

f(1) = 0,3

.

Questão 3:

m_1 + m_2 = 8

, porque a soma das massas permanece constante mesmo depois de quebrar. O enunciado diz que o preço é:

$P = m^{2}_1 + m^{2}_2$

O prejuízo é máximo quando o preço for mínimo.

$P = m^{2}_1 + (8 - m_1)^{2}$

Basta achar o vértice da parábola e você terá o menor valor (eu encontrei 32). O valor inicial era de 64 reais ( 8^2

), então prejuízo foi de 50%.

Espero ter ajudado.

Um abraço.

P.S.: Acabei de ter uma idéia sobre o primeiro. Não tenho tempo de tentar resolver, mas pensei isso: quando igualamos uma função quadrática y = f(x)