[Vetores] Mostrando que um vetor como combinação linear.

por **billhc** » Qui Mar 05, 2015 20:23

Sejam P, A e B pontos do espaço. Seja C o ponto no segmento AB tal que AC/CB = m/n

. Escreva o vetor $\vec PC$ como combinação linear dos vetores $\vec PA$ e $\vec PB$ .

Resumindo: eu tenho que escrever $\vec PC = x*\vec PA + y*\vec PB$ .

Eu sei também que por conta dos ponto A B e C serem colineares eu posso escrever, por exemplo, $\vec AC = z*\vec CB$ .

Então. Eu tentei achar uma relações para que eu pudesse achar os escalares que multiplicam PA e PB mas não consegui achar. O que eu não estou conseguindo ver?
O mais proximo que eu consegui chegar da resposta foi $\vec PC = ((n-m)*\vec PA + m*\vec PB)/n$ .

http://i.imgur.com/pDxLyOi.jpg

por **adauto martins** » Qui Mar 05, 2015 21:15

temos q.:
$AC=(m/n)CB\Rightarrow PC-PA=(m/n)PB-(m/n)PC\Rightarrow (1-m/n)PC=PA+(m/n)PB\Rightarrow PC=(n/n-m)PA+(m/n-m)PB$

por **Russman** » Sex Mar 06, 2015 01:31

É fácil de perceber que os vetores $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CB},\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PC}$ e $\overrightarrow{PB}$ se relacionam da forma

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}$ (1)
$\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{PB} - \overrightarrow{PA}$ (2)
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{PC} - \overrightarrow{PA}$ (3)

Ainda, já que $\frac{\overline{AC}}{\overline{CB}} = \frac{m}{n}$ e , portanto, $\overrightarrow{CB} = \frac{n}{m}\overrightarrow{AC}$ , então, unindo tudo

$\overrightarrow{PB} - \overrightarrow{PA} = \left ( 1+\frac{n}{m} \right ) \overrightarrow{PC} - \left ( 1+\frac{n}{m} \right ) \overrightarrow{PA}$

de onde

$\overrightarrow{PC}= \frac{1}{\left (1+\frac{n}{m} \right )}\overrightarrow{PB} + \frac{1}{\left (1+\frac{m}{n} \right )}\overrightarrow{PA}$

por **Larissa28** » Sáb Mar 21, 2015 17:24

Alguém poderia por favor me mostrar essa resolução de uma forma mais clara?

por **adauto martins** » Dom Mar 22, 2015 13:08

uma correçao...
veja se entende,dado um P qquer do espaço,podemos ter...AC=PC-PA,assim como CB=PB-PC...entao pelos dados do problema teremos:AC=(m/n)CB $\Rightarrow$ PC-PA=(m/n)(PB-PC)=(m/n)PB-(m/n)PC $\Rightarrow$
rearranjando teremos (1+n/m+n)PC=PA+(m/n)PB $\Rightarrow$ PC=(1/1+n/(n+m))PA+(m/1+n/m))PB=(n/m+n)PA+(m/m+n)PB=(n/m+n)PA+(m/m+n)PB...NO LIVRO DO nathan m. santos...e resposta eh PC=(1-m/(m+n))PA+(m/m+n)PB...q. eh a mesma q. eu e rusmann chegamos,confira...