[Estruturas Algébricas] Homomorfismo

por **Pessoa Estranha** » Qui Nov 13, 2014 22:31

Olá, pessoal!

Resolvi um exercício e gostaria de saber se está certo.

"Mostre que $f: Z \rightarrow {Z}_{6}$ , $f(m) = 2\overline{m}$ é um homomorfismo de grupos."

Minha resolução:

Temos que: ${Z}_{6} = \{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5}\}$ . Observemos que os grupos com os quais estamos trabalhando são $({Z}_{6}, +)$ e (Z, +)

. Vamos mostrar que é homomorfismo. Segue: $a,b \in Z$ ; $f(a + b) = 2.\overline{a+b} = 2(\overline{a} + \overline{b}) = 2\overline{a} + 2\overline{b} = f(a) + f(b)$ . Conseguimos, assim, mostrar que $f: Z \rightarrow {Z}_{m}$ é homomorfismo. Por outro lado, basta observarmos que $\forall m \in Z, \overline{m}$ pode ser escrito como elemento de ${Z}_{6}$ . Por exemplo: $\overline{7} = \overline{1} \in {Z}_{6}$ . Logo, $f: Z \rightarrow {Z}_{6}$ é homomorfismo.

Está certo? Muito obrigada pela ajuda!

por **adauto martins** » Qui Nov 20, 2014 14:36

correto,e isso mesmo...sendo $f:(Z,+)\rightarrow ({Z}_{6},+)$ ,somente a a propriedade f(x+y)=f(x)+f(y) com x,y inteiros, e verificada...f tambem tem q. ser bijetiva,o q. e facil verificar ai...

por **Pessoa Estranha** » Sex Nov 21, 2014 14:29

Olá! Muito obrigada pela ajuda!

Só fiquei com uma dúvida: há necessidade mesmo de mostrar que é bijetiva?

por **Pessoa Estranha** » Sex Nov 21, 2014 14:32

Depois, o exercício pergunta a Imagem da f. Coloquei assim: $Im (f) = {Z}_{6}$ . Está certo?

por **adauto martins** » Sex Nov 21, 2014 16:58

nao...me desculpe confundi homomorfismo com isomorfismo... f tem q. ser funçao...qdo funçao bijetiva e homomorfca,entao isomorfica...

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