[Álgebra Linear] Exercício (Socorro!)

por **Pessoa Estranha** » Seg Set 08, 2014 18:54

Boa tarde, pessoal! Preciso de ajuda!

Determinar a projeção ortogonal do vetor $\left(1,1,0,-1 \right) \in {\Re}^{4}$ sobre o subespaço $W = \left((x, y, z, w) \in {\Re}^{4}: x - y - z = 0; z - 2t = 0 \right)$ .

Precisamos, primeiro, encontrar a base ortonormal de W. Consegui encontrar através do Processo de Gram-Schmidt: $B = \left(\left( \frac{2}{3}(1, 0, 1, \frac{1}{2}) \right), \left(\frac{3}{\sqrt[]{14}}\left(5, 9, -4, -2 \right) \right) \right)$ . Contudo, ao aplicar v = <(1,1,0,-1),(k1)>k1 + <(1,1,0,-1),(k2)>k2

v = <(1,1,0,-1),(k1)>k1 + <(1,1,0,-1),(k2)>k2

, onde v é a projeção procurada e, k1 e k2 são os vetores da base ortonormal, simplesmente não dá certo! Eu não sei o que há de errado! Por favor, preciso de ajuda!!!!

Muito Obrigada!

por **young_jedi** » Qui Set 11, 2014 11:14

no enunciado você tem $W=(x,y,z,w)\in\Re^4:x-y-z;z-2t=0$

tem certeza que é t na equação e não w ou vice e versa ?

por **Pessoa Estranha** » Sex Set 12, 2014 19:16

Obrigada por responder!

Olha, estou verificando aqui o enunciado e, realmente, eu errei na hora de digitar. O que está escrito é: $W = \left((x,z,w,t) \in {\Re}^{4}: x - y -z = 0 , z - 2t = 0 \right)$ , mas que também está estranho....

Mesmo assim, obrigada! :-D

por **young_jedi** » Dom Set 14, 2014 11:55

nesse caso você pode fixar as variaveis x e t e fazer

y=x-2t

e

portanto

(x,y,z,t)=(x,x-2t,2t,t)=(x,x,0,0)+(0,-2t,2t,t)

dividindo esses vetores por seus modulos para termos os vetores unitários teríamos a base ortonormal

$\left(\frac{1}{\sqrt2}(1,1,0,0)\right),\left(\frac{1}{2}(0,-2,2,1)\right)$

agora é só aplicar o procedimento que você estava utilizando
qualquer duvida comente

por **Pessoa Estranha** » Dom Set 14, 2014 12:31

Bom, então, pelo processo de Gram-Schmidt, temos:

$\left((1,1,0,0),(0,-2,2,1) \right) \rightarrow (k1,k2)$ a base ortonormal;

$k1 = \frac{(1,1,0,0)}{\sqrt[]{<(1,1,0,0),(1,1,0,0)>}}$ $= \frac{(1,1,0,0)}{\sqrt[]{2}} = \frac{1}{\sqrt[]{2}}(1,1,0,0)$

$k2 = \frac{(0,-2,2,1) - <(0,-2,2,1),(\frac{1}{\sqrt[]{2}}(1,1,0,0)>\frac{1}{\sqrt[]{2}}(1,1,0,0)}{||(0,-2,2,1) - <(0,-2,2,1),(\frac{1}{\sqrt[]{2}}(1,1,0,0)>\frac{1}{\sqrt[]{2}}(1,1,0,0)||}$ = $\frac{(0,-2,2,1)+(1,1,0,0)}{||(0,-2,2,1)+(1,1,0,0)||} = \frac{(1,-1,2,1)}{\sqrt[]{7}}$

o k2 não está unitário...
não estou conseguindo achar o meu erro...

por **young_jedi** » Dom Set 14, 2014 15:20

no meu ver esta correto o k2 é isto mesmo e ele é unitario sim

se você tirar seu modulo você vera que é igual a 1

$\left|\left|\frac{1}{\sqrt7}(1,-1,2,1)\right|\right|=\frac{1}{\sqrt7}.\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2+1^2}=\frac{\sqrt7}{\sqrt7}=1$