[Derivadas] Derivadas com definição de limites

por **concurseironf** » Sex Set 05, 2014 18:11

Não entendi muito bem como utilizar esta definição dentro destas funções.

Alguém pode me ajudar a me dar uma luz por favor?

por **DanielFerreira** » Dom Set 07, 2014 22:18

Olá concurseironf,
seja bem-vindo!

Para encontrar a derivada de uma função pela definição (dada), basta substituir... Veja:

a)

Temos que $f(x) = \frac{1}{x - 2}$ , então $f(x + h) = \frac{1}{(x + h - 2)}$ .

Segue que,

$\\ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\\\\\ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x + h - 2} - \frac{1}{x - 2}}{h} \\\\\\ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1 \cdot (x - 2) - 1 \cdot (x + h - 2)}{(x + h - 2)(x - 2)}}{h} \\\\\\ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x - 2 - x - h + 2}{(x + h - 2)(x - 2)} \times \frac{1}{h} \\\\\\ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cancel{x} - \cancel{2} - \cancel{x} - h + \cancel{2}}{h(x + h - 2)(x - 2)} \\\\\\ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{- h}{h(x + h - 2)(x - 2)} \\\\\\ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{- \cancel{h}}{\cancel{h}(x + h - 2)(x - 2)} \\\\\\ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{- 1}{(x + h - 2)(x - 2)} \\\\\\ f'(x) = \frac{- 1}{(x + 0 - 2)(x - 2)} \\\\\\ \boxed{f'(x) = \frac{- 1}{(x - 2)^2}}$

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