Exercício de otimização, maior barra entre corredores

por **tadeumartines** » Qui Ago 07, 2014 17:28

Dois corredores, um de largura 'a' e o outro de largura 'b', formam uma esquina em ângulo reto. Deseja-se arrastar uma
barra metálica pesada de espessura desprezível, sem que ela saia do chão, de um corredor para o outro. Qual o maior tamanho da barra?

Não tenho ideia por onde começar.

por **adauto martins** » Dom Out 26, 2014 16:25

prim.vou provar um resultado e usa-lo na soluçao do exercicio...
em um triangulo retangulo de area maxima,seus cateos sao de igual medida...
${A}_{tr}=(x.y)/2=((rcos\theta)(rsen\theta))/2={r}^{2}(cos\theta)(sen\theta)/2$
${A(\theta)}_{tr}={r}^{2}2(cos\theta)(sen\theta)/4={r}^{2}sen(2\theta)/4$ ...como
a area e maxima entao:dA/d $\theta$ = ${{r}^{2}cos(2\theta)/4$ =0 $\Rightarrowcos(2\theta)=0\Rightarrow(2\theta)=(\pi/2)\Rightarrow\theta=(\pi/4)$ ...logo o triangulo retangulo e isosceles...CQP...
agora a soluçao do exercicio...
considere a barra como:inicia-se de um ponto do corredor"a",q.passa pelo ponto interno da esquina e toca um ponto no corredor"b",extremidade da barra...logo ,construem-se dois triangulos retangulos,onde os angulos retos sao os pontos de inicio e extremidade da barra ,q. tocam os pontos de partida e chegada,dos corredores(espero q. entendam,e facil desenhe ai e verao)...para o prim.triangulo,corredor "a",teremos x,q. e a medida q. vai do ponto do corredor ate o ponto de esquina,entao... $sen(\pi/4)=a/x,a e o comprim. do cateo do triangulo do corredor "a"...logo x=\sqrt[2]{2}.a$ ...o mesmo raciocinio se faz com o outro tringulo...o compr.total da barra sera $L=\sqrt[2]{2}(a+b)$

por **adauto martins** » Seg Out 27, 2014 14:03

caros colegas do site,
a soluçao apresentada por mim nesse exercicio esta errada...
usei o fato da area maxima para triangulos retangulos,q. no caso,a hipotenusa p/ triangulos retangulos de area maxima tem seu valor minimo(fato bom p/se provar)...me esforçarei p/resolve-lo,no mais muito obrigado...

por **adauto martins** » Ter Out 28, 2014 10:34

bom,vamos a soluçao correta desse exercicio;colocarei aqui de forma sucinta,considerando os pontos mais importantes,e deixo a cargo dos colegas os algebrismo q. conduzem a resposta...
considerando,como antes descrito,a barra tem o ponto de partida do corredor "a",passa pelo ponto interno da quina e vai ate o corredor"b"...podemos tomar ai 2 triang.retangulos,cujas hipotenusas dao o comprimento da barra;vamos tomar a barra em funçao do angulo q. os triangulos fazem com a horizontal,no caso do corredor "a",sera a parede interna,no caso do corredor "b"sera o comprim. do corredor...entao:
$L(\theta)=asec\theta +bcossec\theta$ ...tomamos a dL/d $\theta$ =asec $\theta$ tg $\theta$ -bcossec $\theta$ cotg $\theta$ =0 $\Rightarrow$ a $a{sen\theta}^{3}=b{cos\theta}^{3}$ ...tomando, cos $\theta$ = $\sqrt[]{1-({sen\theta}^{2})}$ $,como\theta\in[0,\pi/2),cos\theta\succ0$ ,entao $\Rightarrow a{sen\theta}^{3}=b({\sqrt[]{1-({sen\theta})^{2}}})^{3}\Rightarrow {sen\theta}^{2}(\sqrt[3]{({a/b})^{2}})+1)=1\Rightarrow {sen\theta}^{2}=1/((\sqrt[3]{({a/b})^{2}})+1)$ ,voltando em $L(\theta)=asec\theta +bcossec\theta$ =(a/cos $\theta$ )+(b/sen $\theta$ )=( $(a/\sqrt[]{1-{sen\theta}^{2}})+(b/(sen\theta}))$ =( $a/\sqrt[3]{{a/b}})+(b/(\sqrt[2]{1+{\sqrt[3]({a/b}})^{2}}))$ ,faz.k= $\sqrt[3]{a/b}$ ,teremos...L=(a/k)+b(1/((1+ ${k}^{2})^(1/2)$ ),resolvendo os algebrismos e etc...,chegamos em L= $\sqrt[3]{({a}^{2/3}+{b}^{2/3})^2}$ ,q. e a resposta certa,a qual conferi no livro de calculo(um curso universitario),edwie moise,o q. realmente me animou a resolver esse exercicio...voltando em $L(\theta)=asec\theta +bcossec\theta$ ,tomando $\theta=(\pi/4)$ ,caso do nosso triang.retangulo isosceles de hipotenusa minima L= $\sqrt[]{2}(a+b)$ ,q. seria o comprim. minimo p/ L...minha resposta anterior...ujaaaaaa....