[Bijeções] Como proceder nesse tipo de questão?

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[Bijeções] Como proceder nesse tipo de questão?

Mensagempor IlgssonBraga » Sáb Jul 26, 2014 15:30

Sejam f:X\rightarrow Y e g:Y\rightarrow Z funções. Demonstre que:
Se gof é injetora e f é sobrejetora, então g é injetora. Onde gof=g(f(x)).
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Re: [Bijeções] Como proceder nesse tipo de questão?

Mensagempor ant_dii » Sáb Jul 26, 2014 16:32

Por definição, como f é sobrejetora, para qualquer y \in Y existe, pelo menos, um x \in X tal que f(x)=y.

Também por definição, como g\circ f é injetora segue que para x_1\neq x_2 em X implica que (g \circ f)(x_1) \neq (g \circ f)(x_2) em Z.

Mas (g \circ f)(x_1)=g(f(x_1))=g(y_1) e (g \circ f)(x_2)=g(f(x_2))=g(y_2) para y_1=f(x_1) e y_2=f(x_2).

Logo, x_1\neq x_2 em X implica que g(f(x_1))\neq g(f(x_2)) em Z, ou seja, g é injetora. Note que f "cobre" todos os elementos de Y, por ser sobrejetora ,portanto a implicação acima vale para qualquer elemento de Y.
Só os loucos sabem...
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Re: [Bijeções] Como proceder nesse tipo de questão?

Mensagempor IlgssonBraga » Sáb Jul 26, 2014 16:42

Muito obrigado !!!
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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