[limites] - dúvida teórica

por **natanaelskt** » Qua Jul 16, 2014 02:04

Dúvida sobre se posso fazer isso.

lim (x^2/sen^3x + sec^3x) = 0/0 + 1

esse limite é quando x tende a zero pela direita 0+
assim eu poderia aplicar hopital só em x^2 / sen^3x

? e depois de achado o valor somar com lim sec^3x?

por **e8group** » Qua Jul 16, 2014 10:56

Sim , mas tome cuidado. O mais correto é computar cada limite separadamente e verificar se eles existem , caso sim ,o próximo passo é aplicar a regra operacional "Limite da soma " .

Em geral não faça isso $\lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = \lim_{x\to a} f(x) + \lim_{x\to a} g(x)$ . (Exceto se é fácil ver que os limites existem ) , proceda assim ...

Compute os limites separadamente

$(i) \lim_{x\to a} f(x)$

$(ii) \lim_{x\to a} g(x)$ .

Assim , se o primeiro(segundo) limite existir e valer L_1 (L_2)

então pela regra operacional temos $\lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = L_1 + L_2$ .

Observação : Estar implícito que L_1, L_2

são números reais , entretanto suponha que um deles sejam não números reais e sim $+\infty (-\infty)$ então $\lim_{x\to a} f(x)+g(x) = +\infty (-\infty)$ . Além disso , se ambos L_1, L_2

forem $\infty$ e $L_1 \cdot L_2 > 0$ então $\lim_{x\to a} f(x)+g(x) = +\infty (-\infty)$ é possível mostrar isto formalmente . A teoria aq não está mt boa , recomendo que consulte livros .

Façamos o mesmo para o exercício ...

$(i) \lim_{x\to 0^+} sec^3 x = \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{cos^3 x} = 1$ ( o limite lateral existe )

(ii)

(Não importa o " caminho " que seguirmos para computar o limite , importante é computar-ló corretamente )

$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{sin^3 x} =\lim_{x \to 0^+} \frac{ \dfrac{x^2}{x^3} }{\dfrac{sin^3 x}{x^3} } = \lim_{x \to 0^+} \frac{ \dfrac{1}{x} }{\left(\dfrac{sin x}{x} \right)^3 }$ .

Agora , $\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ e
$\lim_{x\to 0^+}\left(\dfrac{sin x}{x} \right)^3 = 1$ , logo

$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{sin^3 x} = + \infty$ .

Ou por L'hospital o resultado também segue [revise as contas !] (aplicando uma vez a regra teremos no numerador um monômio x que vai a zero e no denominador um termo sin^2 x que também vai a zero , então aplicamos novamente a regra a qual eliminará a indeterminação o resultado seguirá )

Logo recaímos em um dos casos em que um dos L_i vale + infinito então o limite requerido vale + \infinito .

Ou outra forma de ver é que cos^3 x > 0

sempre que $x \in (0,r)$ (para algum r > 0 pequeno fixado ) isto nos leva a concluir que $\frac{1}{cos^3(x)} = sec^3 x > 0$ e com isso ganhamos a desigualdade (claramente verdadeira )

$\frac{x^2}{sin^3x} + sec^3 x > \frac{x^2}{sin^3x} , \forall x \in (0,r)$ .

Entretanto , sabemos que $\frac{x^2}{sin^3x} \to +\infty$ quando $x\to 0^+$ , ou seja

$\lim_{x\to 0^+} (\frac{x^2}{sin^3x} + sec^3 x) > +\infty$ e o resultado segue .