Cálculo do valor esperado E[X] (ou esperança)

por **taunus** » Sáb Mai 24, 2014 10:42

Boas
Estou com uma dificuldade na resolução deste exercício, visto que não consigo aplicar as propriedades do valor esperado neste caso:
Considere uma variável aleatória X tal que E[(X-1)^2] = 10, E[(X-2)^2] = 5.
Calcule:
3.1. O valor esperado de X.
Não consigo calcular o valor esperado pelo facto do X estar em potência de 2

por **e8group** » Sáb Mai 24, 2014 18:22

Sou 99.9999 .... % leigo no assunto . Mas vendo a definição de

, independente de

ser discreto ou não , afirmamos que E é linear . Assim sendo , temos

E((X+k)^2) = E(X^2 +2kX +k^2) = E(x^2) + 2k E(X) + k^2

(1) .

Faça k= -1 e k = -2 ,de (1) ganhamos o sistema

$\begin{cases} E((X -1)^2) = E(x^2) -2 E(X) +1 \\ E((X -2)^2) = E(x^2) -4 E(X) +4 \end{cases}$ .

Resolva para E(X) . Boa sorte !

Ps.: Não se preocupe E(X^2)

, isso pq

e qualquer solução da combinação linear não nula de E((x-1)^2) , E((x-2)^2)

é também solução do sistema e a recíproca tbm é verdadeira .

por **taunus** » Sáb Mai 24, 2014 19:22

Obrigado pela sua intervenção

No entanto não consigo compreender o seu Ps, pois fico com duas equações e uma só incógnita, o que me dá dois possíveis valores esperados E(x) se igualar a 10 e 5 respectivamente. Outra coisa que não entendi foi como eliminou o E(x^2) visto que para tal teria de igualar as duas equações.

por **e8group** » Sáb Mai 24, 2014 22:08

Ooops ! Na verdade não equivalente e sim uma implicação obvia . Já estudou G.A. ? Se sim , podemos interpretar qualquer sistema linear 2 por 2 como interseção entre duas retas , que em geral se exprimem por ax+by +c = 0

. (a,b,c constantes com a ,b não simultaneamente nulas )

De forma geral , qualquer sistema linear m equações para n incógnitas pode ser visto como interseção entre

hiperplanos do $\mathbb{R}^n$ .

Por exemplo se m = 2 e n = 3 , o sistema de equações representa geometricamente uma reta no $\mathbb{R}^3$ (caso os planos não são paralelos ) .

Se quiser mais explicações com este foco , só dizer .

De forma sucinta , ( E(x^2) , E(x) )

, corresponde a solução (x,y)

do sistema

$\begin{cases} x -2y -9 = 0 \\ x -4y -1 = 0 \end{cases}$ .

Se você esboçar o gráfico de ambas retas verá que a interseção entre elas se resume a um ponto . Como queremos encontrar apenas y , basta multiplicar uma das equações por um número conveniente de modo que está equação multiplicada por este número somada a outra equação se resume apenas uma equação de uma variável y .

As contas deixo para você .