[ Progressão Aritmética ] Explicação

por **Thais Camerino** » Dom Abr 27, 2014 16:58

Tenho este exercício mas não entendi como foi resolvido assim, se alguém pudesse me ajudar, ficaria muito grata! :-D

Dado que numa P.A a3 = 15 e S10 = 125. Encontre o d e a10.

R:
125 = 5(2a + 9d) ________________ a+2d=15

(2a + 9d) - (a+ 2d) = 25-15
(=) 2a+9d - a - 2d = 10
(=) a + 7d = 10

(a + 7d) - (a + 2d + 10 - 15)
(=) 5d= - 5
(=) d = -1

*Substituir o d*

a-2 = 15
(=) a = 17

a10 = 9 + 9d
(=) 17 + 9 * -1
(=) 17 - 9 = 8

Resposta : d = -1 ; a10 = 8

por **Russman** » Dom Abr 27, 2014 18:07

Bem, eu acredito que o "d" trate-se da razão da P.A..

Uma P.A. é uma sequência $\left \{ a_1,a_2,a_3,...,a_n,... \right \}$ ,finita ou infinita, que caracteriza-se pela relação: $a_{n+1} - a_{n} = r$ onde

é um numero real qualquer constante(isto é, independente n).
Resolve-se, para esta, a_n = a_1 + (n-1)r

. Ainda, sabemos que a soma dos

primeiros termos da sequência, isto é, a_1 + a_2 + ... + a_n = s_n

é tal que $s_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ . Ou, de forma equivalente, $s_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)r)$ .

Assim, se a sua P.A. tem o termo a_3 = 15

e $S_{10} = 125$ temos informações suficientes para determinar todos os seus termos.

Comece com a definição do termo geral: a_3 = a_1 + 2.r = 15

. Daí, a primeira equação é esta.
Agora, do resultado para soma, $S_{10} = 5(2a_1 +9r) = 125$ . Esta é a segunda equação.

Reunindo ambas, temos

a_1 + 2r = 15

que é um sistema de equações de 1° grau 2x2. Resolva-o e terá o 1° termo da P.A. e a sua razão, de modo que , assim, será capaz de determinar qualquer um de seus termos.

Eu acredito que você deva calcular a_1 = 17