[Matrizes] Verificação de afirmação e prova

por **Andre Arruda** » Ter Mar 25, 2014 16:55

Olá! Estava olhando provas anteriores de minha universidade e vi uma questão sobre matrizes que pedia para falar se algumas afirmativas feitas eram verdadeiras ou falsas com justificativa. Nessa afirmação:

"Se $\textit{A}$ é uma matriz $\textit{n}$ x $\textit{n}$ tal que ${\textit{A}}^{2}={I}_{n}$ , então $A={I}_{n}$ ou $A={-I}_{n}$ "

Bom, como uma matriz multiplicada pela sua inversa sempre dá a matriz identidade, imaginei que a afirmação seja falsa, uma vez que para que ${\textit{A}}^{2}={I}_{n}$ , $A={A}^{-1}$ .

Não sei, entretanto, como colocar isso na resposta caso apareça em uma prova (ou qualquer questão similar) e se teria que exemplificar com um caso numérico para prova. É meu primeiro semestre na universidade, então não tenho muita noção de como funciona isso. Se alguém puder ajudar com essa ideia, agradeço muito!

por **e8group** » Qui Mar 27, 2014 12:32

Bom dia . A implicação não necessariamente é verdadeira . Se fosse , ela valeria para todo

natural .Negar a afirmação entre aspas é o suficiente mostrar um contra exemplo . Vamos escolher n = 2 para simplificar e mostra que existe outra matriz

inversível diferente de $\pm I_2$ tal que A^2 = I_2

.Comece escrevendo

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ (vamos determinar a,b,c,d ) . Segue-se

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a ^2 + bc & (a+d)b \\ c (a+d) & cb +d^2 \end{pmatrix}$ .

Desde que A^2 = I_2

, então

e

.

Dá segunda relação ,temos a = -d

e

quaisquer .

Mas , $a^2 +bc = cb+d^2 = 1 \implies d^2 = 1-cb$ . Como d^2

é sempre positivo , o lado direito também o é , escolhendo-se então c,b

reais tais que cb <1

a solução geral do sistema será

$a = - d , d = \pm \sqrt{1-cb}$ com cb < 1

.

Agora podemos encontrar quantas matrizes quisermos , basta tomar valores para c,b

de modo que cb < 1

. Exemplo , escolha c = 2

e

.Temos $2 \cdot 1/4 = 1/2 < 1$ e

$d = \pm \sqrt{1 - 1/2} = \pm \sqrt{2}/2 , a = - d$

Disso temos uma matriz $A = \begin{pmatrix} \sqrt{2}/2 & 1/4 \\ 2 & - \sqrt{2}/2 \end{pmatrix}$ tal que A^2 = I_2

.

por **Andre Arruda** » Qui Mar 27, 2014 17:28

Certo, muito obrigado, Santhiago! Me ajudou bastante, acho que peguei a ideia de como justificar, vou treinar mais isso. Mais uma vez, muito obrigado.