Progressão geométrica (Soma da PG infinita)

por **kellykcl** » Qui Fev 27, 2014 23:20

Boa noite amigos do fórum!

Preciso de ajuda para entender (como se resolve) a seguinte questão de PG!

(U.F.PE) Seja ${Q}_{1}$ um quadrado de lado medindo ${l}_{1}$ unidades de comprimento. Unindo-se os pontos médios dos lados de ${Q}_{1}$ , formamos um novo quadrado ${Q}_{2}$ de lado medindo ${l}_{2}$ unidades de comprimento. Assim procedendo indefinidamente, obtemos a sequência de quadrados ${Q}_{1},{Q}_{2},...,{Q}_{n},...$ , onde ${S}_{1},{S}_{2},...,{S}_{n},...$ são, respectivamente, as medidas das áreas destes quadrados. Assinale a alternativa que corresponde à soma

$S=\sum_{i=1}^{\infty}Si$

a) $2\, \l_{1}^{2}$ unidades de comprimento

b) $\l_{1}^{2}$ unidades de comprimento

c) $\l_{1/2}^{2}$ unidades de comprimento

d) ( $\l_{1/2}$ )² unidades de comprimento

e) $\l_{1}^{3}$ unidades de comprimento

***Gabarito: a

Obrigada a todos!

por **Russman** » Sex Fev 28, 2014 15:09

Perceba, primeiramente, que a medida do lado do quadrado obtido posteriormente a união do pontos médios deverá ser metade da medida do lado do quadrado original. Assim, adotando a variável $n \in \mathbb{N}$ para contar os sucessivos quadrados obtidos sendo n=1

o primeiro, temos a seguinte relação de recorrência:
$l_{n+1} = \frac{l_n}{2}$

Essa equação tem como solução $l_n = l_1 \left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}$ .

Agora, a área S_n

do

-ésimo quadrado é dada pelo quadrado da medida de seu lado.
Portanto,

$S_n = (l_n)^2 = l_1^2 \left ( \frac{1}{4} \right )^{n-1}$

ou, ainda, $S_n = (l_n)^2 =4 l_1^2 \left ( \frac{1}{4} \right )^{n}$ .

A soma de todas as áreas será

$S=\sum_{n=1}^{\infty }S_n = \sum_{n=1}^{\infty }4 l_1^2 \left ( \frac{1}{4} \right )^{n} = 4l_1^2 \sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{1}{4} \right )^{n}$

O último somatório obtido é a soma de uma P.G. de razão e primeiro termo $\frac{1}{4}$ . É conhecido que

$\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{1}{a} \right )^{n} = \frac{1}{a-1}$ se a>1

.

Tomando a=4

, então $\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{1}{4} \right )^{n} = \frac{1}{4-1} = \frac{1}{3}$ . Daí,

$S= 4 l_1^2 \frac{1}{3} = \frac{4}{3} l_1^2$ .

Website · por **alexandre_de_melo** » Sex Fev 28, 2014 17:07

Usando pitágoras, você descobrirá que o lados dos quadrados são dados por $l_n = l_1 * ({ \frac { \sqrt 2}{ 2 }})^{n-1}$ .
$l_2 =l_1{ \frac { \sqrt 2 }{2 }$
$l_3 =l_1({ \frac { \sqrt 2 }{2}})^2$
$l_4 =l_1({ \frac { \sqrt 2 }{2}})^3$

Como cada quadrado tem área S_n = (l_n)^2

, temos que cada quadrado terá área $S_n=(l_1)^2*( { \frac {1}{2} })^{n-1}$ , logo,
$\sum_{n=1}^\infty S_n =\sum_{n=1}^\infty (l_1)^2*({\frac{1}{2}})^{n-1}$

$=(l_1)^2*\sum_{n=1}^\infty ({\frac{1}{2}})^{n-1}$ , observe que temos ao lado a soma de uma p.g. de termo inicial 1 e razão 1/2 .

$(l_1)^2*{\frac{1}{1-(\frac{1}{2})}}$

(l_1)^2*2