CÁLCULO DE LIMITE COM RAIZES DE ÍNDICES DIFERENTES

por **thiago15_2** » Qui Fev 27, 2014 01:20

Galera, estou com uma duvida grande aqui.
Não tenho prática para escrever as fórmulas mais vai dar pra entender.

A questão é essa:

lim (raizcúbica de 8x-8) + (raizquarta de 16x²+16) -4/(raizquadrada de 4x²+4) -2
x->0

Obs(sem usar derivada)

Meu professor faz a mudança de variável tirando o mmc dos índices. Eu só sei fazer quando dentro da raiz só tem o x. quando tem o x², ou um polinômio, já não sei fazer.

A resposta é 7/6. queria saber mesmo como fica essa mudança de variável.
GRATO.

por **young_jedi** » Sex Fev 28, 2014 15:15

imagino que o limite seja esse

$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{8x+8}+\sqrt[4]{16x^2+16}-4}{\sqrt{4x^2+4}-2}$

podemos simplificar um pouco

$\lim_{x\to0}\frac{2\sqrt[3]{x+1}+2\sqrt[4]{x^2+1}-4}{2\sqrt{x^2+1}-2}$

$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[4]{x^2+1}-2}{\sqrt{x^2+1}-1}$

a mudança de variavel que que eu proponho é esta

$\sqrt[12]{x+1}=y$

$x\to0$
$y\to1$

então o limite ficaria

$\lim_{y\to1}\frac{y^4+y^3-2}{y^6-1}$

$\lim_{y\to1}\frac{(y-1)(y^3+2y^2+2y+2)}{(y-1)(y^5+y^4+y^3+y^2+y+1)}$

$\lim_{y\to1}\frac{\cancel{(y-1)}(y^3+2y^2+2y+2)}{\cancel{(y-1)}(y^5+y^4+y^3+y^2+y+1)}$

$\lim_{y\to1}\frac{y^3+2y^2+2y+2}{y^5+y^4+y^3+y^2+y+1}=\frac{7}{6}$

CÁLCULO DE LIMITE COM RAIZES DE ÍNDICES DIFERENTES

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