[Derivada] Definição de derivada num ponto

por **fff** » Seg Fev 24, 2014 17:12

Mostra que, se existe f'(a), então:
$\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}=f'(a)$

por **DanielFerreira** » Dom Jul 20, 2014 13:15

Olá fff,
boa tarde!

Sabemos que $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = f'(x) = \lim_{x \rightarrow p} \frac{f(x) - f(p)}{x - p}$ ;

Façamos a - h = p

por conseguinte h = a - p

, então:

$\\ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = \\\\\\ \lim_{a \rightarrow p} \frac{f(a) - f(p)}{2(a - p)} = \\\\\\ \lim_{a \rightarrow p} \frac{1}{2} \cdot \frac{f(a) - f(p)}{a - p} = \\\\\\ \boxed{\frac{f'(a)}{2}}$

por **e8group** » Dom Jul 20, 2014 16:14

Boa tarde a todos ...

Alternativamente , fixado

, defina $g(h) := \frac{f(a+h)-f(a) }{h}$ . Dizer que $\lim_{h\to 0} g(h) = f'(a)$ equivale dizer que para qualquer $\epsilon > 0$ dado , existe $\delta > 0$ (correspondente ) tal que se $h \in Dom(g) \wedge h \in (- \delta , +\delta)$ então $|g(h) - f'(a)| < \epsilon (*)$ .

Segue que
$\frac{f(a+h) -f(a-h) }{2h} -f'(a) = \frac{f(a+h) -f(a) -(f(a-h) -f(a)) }{2h} -f'(a) = g(h) - \frac{f(a +(-h) ) -f(a)}{2h} -f'(a) = \frac{1}{2} \left[ g(h) - f'(a) - g(-h) - f'(a) \right]$ .

. Aplicando o módulo e usando a desigualdade triangular , temos

$|\frac{f(a +(-h) ) -f(a)}{2h} -f'(a) | = \frac{1}{2} | g(h) - f'(a) - g(-h) - f'(a) | \leq \frac{1}{2}(|g(h) -f'(a)| + |g(-h) -f'(a)|)$ .

Mas , se $h \in Dom(g) \wedge h \in (-\delta , \delta )$ então $(-h) \in Dom(g) \wedge (-h) \in (-\delta ,\delta)$ . Desta forma , obtemos que ambas quantidades

e

são limitadas por $\epsilon$ e por isso

$|\frac{f(a +(-h) ) -f(a)}{2h} -f'(a) | \leq \frac{1}{2} (\epsilon +\epsilon) = \epsilon$ o que prova formalmente que o limite $\lim_{h\to 0} g(h)$ existe e vale f'(a)