[Volume de Pirâmides internas à um cubo]

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[Volume de Pirâmides internas à um cubo]

Mensagempor Gustavo Gomes » Sáb Fev 15, 2014 22:01

Ola!
Em um cubo de volume V, sejam F1 e F2 duas faces paralelas. Uma pirâmide tem F1 como base e vértice no centro de F2 e outra pirâmide tem F2 como base e vértice no centro de F1.
Qual o volume da parte comum a essas pirâmides?

A resposta é V/12.

Não estou conseguindo definir a área da secção que representa a base dessas partes comuns....

Aguardo. Grato.
Gustavo Gomes
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Re: [Volume de Pirâmides internas à um cubo]

Mensagempor young_jedi » Dom Fev 16, 2014 19:41

as piramedes se interceptam no centro do cubo portanto a metade superior de cada piramede esta contida dentro da outra sendo esta a região comum entre elas
temos portanto que calcular o volume da metade superior de cada uma das metades superiores

piram.png
piram.png (7.06 KiB) Exibido 2669 vezes

sendo o lado do quadrado igual a x então a altura dessas piramdes sera x/2 e o lado da base por semelhança de triangulos tambem sera x/2
portanto o volume de cada uma sera

V_1=\frac{1}{3}.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}

V_1=\frac{x^3}{24}

como o volume comum é a soma do volume das duas piramedes então

V_c=2.V_1=\frac{x^3}{12}

mais como V=x^3

V_c=\frac{V}{12}
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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