[Inequação] Menor Inteiro Positivo

por **CJunior** » Qui Fev 06, 2014 21:37

(OCM/ITA) Qual é o menor inteiro positivo

tal que $\sqrt[2]{n}-\sqrt[2]{n-1}<0,01$

por **e8group** » Qui Fev 06, 2014 22:16

Dica :

Faça uma substituição $k = \sqrt{n}$ , logo n = k^2

e assim , a desigualdade se escreve como

$k - \sqrt{k^2 - 1} < 10^{-2}$ ou ainda $k - 10^{-2} < \sqrt{k^2 -1}$ .Pelo que o lado esquerdo da inequação é um número positivo então podemos elevar ambos lados ao quadrado e após simplificações obterá a solução que nos permite analisar o menor natural .

por **e8group** » Qui Fev 06, 2014 22:30

Outra forma é multiplicar a desigualdade por $10^2 \cdot (\sqrt{n} + \sqrt{n-1})$ e utilizar que $\sqrt{n} > \sqrt{n-1}$ implicando $2 \sqrt{n} > \sqrt{n} + \sqrt{n-1} > 100$ .

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