Esfera e cone

por **Ananda** » Sex Abr 04, 2008 15:21

Boa tarde!

Eis o exercício:

Numa festa de aniversário, o vinho foi servido em taças de cristal de forma cônica. A abertura das taças é de 4cm de raio interno com profundidade de 12 cm. A pérola do colar de uma das convidadas da festa deslocou-se e foi cair dentro de uma taça. Se a pérola tem formato esférico de 1 cm de raio, qual a menor distância, em centímetros, da pérola em relação ao fundo da taça?

Resposta: $\sqrt[]{10}-1$

Eu pensei em usar a relação de semelhança, compararando a área dos cilindros, mas com isso obtive como resposta 3 cm e subtraindo mais 1 cm do raio da esfera (parte debaixo) deu 2 cm.

Tentei fazer outro exercício de mesmo modelo e também não consegui obter a resposta certa.

Gostaria de saber se meu raciocínio está errado desde o início ou se esqueci de algum detalhe.

Grata desde já!

por **admin** » Sex Abr 04, 2008 15:50

Olá Ananda, boa tarde!

Você pode fazer usando relação de semelhança sim e depois teorema de Pitágoras.

Melhor do que pensar em cilindros é simplificar reduzindo o problema para duas dimensões:

Faça uma seção meridiana no cone da taça.
Agora você terá um triângulo e uma circunferência.
Divida o triângulo pelo eixo de sua altura, você terá dois triângulos retângulos.

Na parte inferior, onde está a circunferência, una o centro aos outros catetos pelos raios.
Logo, você terá outros dois triângulos retângulos pequenos que são semelhantes aos maiores pelo caso AA (ângulo reto correspondente e ângulo comum).
Um cateto é o raio de medida 1, o outro você encontra por semelhança.
Depois, Pitágoras, sendo a hipotenusa x+1, onde x é a distância pedida.
Termina com uma equação de segundo grau.

Espero ter ajudado!
Até mais. Bom final de semana!