[Geometria Analítica] Exercício - URGENTE

por **Pessoa Estranha** » Qui Jan 09, 2014 15:37

Olá, pessoal! Não estou conseguindo resolver o seguinte exercício:

Obtenha o simétrico do ponto P em relação ao plano:
P=(1,4,2); ?:x-y+z-2=0

Por favor, pode ser só uma dica. Já tentei resolver várias vezes, mas não consigo.

Obrigada!

por **anderson_wallace** » Qui Jan 09, 2014 23:56

Inicialmente vamos lembrar da definição de equação geral do plano.

Seja $P=({x}_{0},{y}_{0},{z}_{0})$ um ponto do plano $\pi$ e v=(a,b,c)

um vetor ortogonal a $\pi$ , a equação geral do plano $\pi$ é definida como

ax+by+cz+d=0

, onde $d=-a{x}_{0}-b{y}_{0}-c{z}_{0}$

Então note que com a equação geral vc tem um vetor ortogonal ao plano, que nesse caso é v=(1,-1,1)

Agora podemos encontrar uma reta ortogonal a $\pi$ que passa pelo ponto P=(1,4,2)

, e como o ponto simétrico a P está contido nessa reta, ele pode ser escrito como ${P}_{1}=(1+\lambda ,4-\lambda ,2+\lambda)$ (Verifique!).

Perceba que basta vc encontrar o valor para $\lambda$ tal que a distância do ponto P ao plano $\pi$ seja igual a distância do ponto P1 ao plano $\pi$ .

por **Pessoa Estranha** » Sex Jan 10, 2014 16:08

Olá! Obrigada por responder!

Bem, pensei assim também, mas fiquei na dúvida, pois como podemos garantir que o ponto P está na reta ortogonal ao plano? (não sei se estou dizendo um absurdo, mas podemos imaginar um plano "atravessado" por uma reta ortogonal e que não passa por P, não é?).

Desculpe, estou precisando estudar mais este conteúdo, mas foi o que pensei....

Obrigada!

por **anderson_wallace** » Sex Jan 10, 2014 16:45

Seu raciocínio faz todo sentido, afinal existem infinitas retas ortogonais ao plano $\pi$ . Mas note o modo como essa reta em particular foi obtida. Inicialmente tomamos um vetor ortogonal ao plano que foi dado pela própria equação geral do plano $\overrightarrow{v}=(1,-1,1)$ , daí encontramos a reta ortogonal a $\pi$ que tem como vetor diretor o vetor $\overrightarrow{v}$ , e que passa pelo ponto P

$r: (x,y,z)=(1,4,2)+\lambda(1,-1,1)\Rightarrow (x,y,z)=(1+\lambda,4-\lambda,2+\lambda)$

Ou seja, na própria obtenção da reta definimos que ela passa pelo ponto P.