Espaço Vetorial

[Razoli]

Olá, tenho uma dúvida referente:

O QUE É esse CORPO "K" , onde o conjunto V esta sobre o mesmo, não estou entendendo o que é esse corpo! Alguém poderia me explicar de forma bastante intuitiva?

[anderson_wallace]

Um corpo numérico é um subconjunto de números complexos (note que o conjunto dos reais também está contido em K) que é fechado em relação as operações elementares, ou seja, se vc somar, subtrair,multiplicar ou dividir (com divisor diferente de 0) elementos de K, irá obter um outro elemento de K.

Essa é uma definição bastante informal, e consequentemente um pouco mais simples. Mas em livros de álgebra linear há definições bem mais rigorosas que inclusive mostram algumas propriedades que os elementos de K devem satisfazer.

[Razoli]

Então o corpo K é como se fosse uma regra que o conjunto V deve tomar?

Se K = R, e K assumir duas operações (+/-) o meu conjunto V deve satisfazer obrigatoriamente K, ai meu V é um espaço vetorial?

[anderson_wallace]

Não exatamente, um corpo K não é uma regra que um dado espaço vetorial deve satisfazer.

Um corpo K é conjunto de números reais ou complexos que deve satisfazer as seguintes propriedades:

1ª) Os números 0 e 1 estão em K;

2ª) Se então x+y e x.y pertencem a K;

3ª) Se então o seu simétrico, isto é ;

4ª) Se e então o inverso .

Já para verificar se V é um espaço vetorial vc não precisa verificar as propriedades do corpo numérico e sim as oito propriedades de espaço vetorial (que vc pode encontrar facilmente em qualquer livro), nessa situação o corpo K servirá basicamente para vc tomar elementos de K como escalares para testar as propriedades de espaço.

Por exemplo, umas das propriedades que um conjunto V qualquer deve satisfazer para ser um espaço vetorial sobre o corpo do números reais é a seguinte:



Note que o escalar está no corpo, que neste caso é R.

[Razoli]

Hmmm então o K é nada mais que um conjunto que contém elementos, que podem ser complexos ou Reais, no qual é um corpo dos escalares, que ira satisfazer os axiomas escalares para verificar se um conjunto qualquer V é ou não um Espaço vetorial?

[anderson_wallace]

Hmmm então o K é nada mais que um conjunto que contém elementos, que podem ser complexos ou Reais

Até aí está certo, daí para frente não entendi muito bem, por isso não posso garantir, mas parece que vc está chegando a conclusão certa.

[Razoli]

Valeu por tudo, acabou minhas dúvidas!! Muito Obrigado por me auxiliar!!