[Geometria Analítica] Retas perpendiculares - Urgente!

por **Pessoa Estranha** » Qua Jan 08, 2014 18:16

Olá, pessoal!

A questão é a seguinte:

"OBTENHA UMA EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA s QUE CONTÉM P E É PERPENDICULAR À r, NOS CASOS:
(A) P=(2,6,1), r: X = (-3,0,0) + a(1,1,3)."

Como fiz:

P=(2,6,1),r:X=(-3,0,0)+?(1,1,3)
O nosso objetivo é encontrar as coordenadas do vetor diretor da reta s. Para tanto, basta aplicarmos o seguinte raciocínio: notemos que, como r e s são retas perpendiculares, então podemos afirmar que existe um ponto A pertencente à ambas. Assim, o ponto A pode ser escrito como (x,y,z)=(-3,0,0)+?(1,1,3) já que pertence à r; consequentemente temos: x= -3+ ?; y= ?; z=3?. Daí, PA=A-P=(-5+y,y-6,3y-1). Agora, notemos que, sendo PA perpendicular à r, vem: PA.r= (-5+y,y-6,3y-1).(1,1,3)= 0 ? -5+y+y-6+9y-3=0 ?11y=14 ?y=14/11. Logo, obtemos (x,y,z )=((-19)/11,14/11,42/11).

Resposta correta: (-41, -52, 31).

Por favor, ajudem!

Obrigada!

por **anderson_wallace** » Qua Jan 08, 2014 20:28

Boa noite!

Seu raciocínio, assim como a maior parte da resolução da questão estão certos, mas no final acho que vc deve ter errado em conta.

De fato $y=\frac{14}{11}$

E como vc mesmo encontrou, o vetor diretor PA é do tipo (-5+y,y-6,3y-1)

Refaça as contas para encontrar as coordenadas de PA que vc vai chegar em $(-\frac{41}{11},-\frac{52}{11},\frac{31}{11})$

Daí basta multiplicar pelo escalar k=11 que vc chega na resposta certa.

por **Pessoa Estranha** » Qua Jan 08, 2014 20:34

Nossa! Muito Obrigada! Já estava começando a pensar que não tinha entendido nada com relação ao conteúdo. Obrigada! :y:

por **Pessoa Estranha** » Qua Jan 08, 2014 21:18

Olá! Será que você pode ajudar neste exercício também?

Obtenha uma equação vetorial da reta s que contém P e é perpendicular à r, no seguinte caso:
P=(1,0,1),r contém A=(0,0,1) e B=(1,0,0)
Primeiro, precisamos encontrar a equação vetorial da reta r. Para tanto, notemos que esta reta possui os pontos A e B dados e, portanto, podemos pensar no seguinte: AB=B-A=(1,0,0)- (0,0,1)=(1,0,-1), isto é, temos, então, as coordenadas do vetor AB. Desta forma, podemos considerar AB o vetor diretor da reta r. Assim, sua equação é dada por: r:X=(0,0,1)+?(0,0,-1). Agora, podemos obter a equação da reta s. Façamos analogamente ao exercício anterior.

Consideremos um ponto Q pertencente às duas retas em questão, r e s. Assim sendo, temos, a partir da equação da reta r, Q=(x,y,z)=(0,0,1)+?(0,0,-1)?x=0;y=0;z= 1-?. A partir disso, então, podemos afirmar que PQ=Q-P=(-1,0,-?). Encontremos o valor de ?.

Como PQ e r são perpendiculares, temos que PQ.r=0 ?(-1,0,-?).(0,0,1)= 0 ? -?=0 ? ?= 0.

Logo, PQ=Q-P=(-1,0,1-?)=(-1,0,0) pode ser considerado o vetor diretor da reta s, concluindo que a sua equação é dada por: s:X=(1,0,1)+ ?(-1,0,0).

Novamente está errado e já conferi as contas.

Resposta correta: (-1,0,-1).

Obrigada!

por **anderson_wallace** » Qua Jan 08, 2014 21:44

Note que vc encontrou o vetor diretor AB como sendo AB=(1,0,-1) e na equação da reta vc escreveu esse mesmo vetor como (0,0,-1)

Não fiz as contas, mas acho que foi devido a isso que não chegou na resposta certa.