[Geometria Analítica] Elipse

por **Pessoa Estranha** » Qua Jan 01, 2014 01:27

MOSTRAR QUE A AMPLITUDE DA ELIPSE É DADA POR $\frac{2{b}^{2}}{a}$ .

Minha resolução:

Consideremos PQ o segmento cuja medida é a amplitude da elipse. Conforme a definição da mesma e o Teorema de Pitágoras, considerando F1 e F2 os focos, temos:

PF1 + PF2 = 2a

${(PF2)}^{2} = {(PF1)}^{2}+{(F1F2)}^{2}$

Então:

${(F1F2)}^{2} = {(PF2)}^{2}-{(PF1)}^{2} \rightarrow {(F1F2)}^{2} = (PF2-PF1)$ $(PF2+PF1) \rightarrow 4{c}^{2} = 2a(PF2-PF1)$ ---->

----> $4{c}^{2} = 2a(PF2-PF1) \rightarrow 2{c}^{2} = a(PF2-PF1)$

Porém, pela definição, vem que:

${b}^{2} = {a}^{2}-{c}^{2} \rightarrow {b}^{2} + {c}^{2} = {a}^{2} \rightarrow {c}^{2} = {a}^{2} - {b}^{2}$

E, aplicando no resultado, temos:

$2{c}^{2} = 2{a}^{2} - 2{b}^{2} = a(PF2-PF1)\rightarrow 2({a}^{2}-{b}^{2}) = a(2a-PF1-PF1)$ $\rightarrow 2({a}^{2}-{b}^{2}) = (2{a}^{2}-2aPF1)$ $\rightarrow ({a}^{2}-{b}^{2}) = ({a}^{2}-aPF1)$ $\rightarrow -{b}^{2}= -(aPF1) \rightarrow PF1 = \frac{{b}^{2}}{a}$

Já tentei resolver outras vezes, mas sempre cheguei no mesmo resultado. Qual é o erro? Por favor, ajudem!

Obrigada!

por **Renato_RJ** » Qua Jan 01, 2014 09:37

Bom dia !!!

Você deseja provar a amplitude da elipse, também conhecida como latus rectum. Mas você somente calculou o semi latus rectum, isto é, apenas a metade, logo basta multiplicar o seu resultado por 2.

$2 \times PF1 = \frac{2b^2}{a}$

Abraços,
Renato.

por **Pessoa Estranha** » Qua Jan 01, 2014 11:15

Bom dia! Feliz Ano Novo!
Obrigada por responder!

Agora eu entendi. Achava que a amplitude da elipse era só o tamanho do segmento perpendicular ao eixo focal e cujas extremidades eram um dos focos e um ponto pertencente à elipse. Estranho.... Acabei fixando a ideia e, agora, ficou esquisito....

Obrigada! :-D

por **Renato_RJ** » Qua Jan 01, 2014 15:15

Pessoa Estranha escreveu:Bom dia! Feliz Ano Novo!
Obrigada por responder!

Agora eu entendi. Achava que a amplitude da elipse era só o tamanho do segmento perpendicular ao eixo focal e cujas extremidades eram um dos focos e um ponto pertencente à elipse. Estranho.... Acabei fixando a ideia e, agora, ficou esquisito....

Obrigada!

Obrigado e um feliz ano novo para você também !!

[ ]'s
Renato.