[Problema de Máximo] Dúvida

por **silviopuc** » Seg Dez 23, 2013 20:09

Pessoal estou com dúvida no seguinte exercício:

Da folha circular corta-se setor circular de modo que se obtenha o funil conforme mostra a figura abaixo. Se o funil tem volume máximo, então o ângulo central $\alpha$ , em radianos, é igual a:

: figura; fig1.jpg (9.44 KiB) Exibido 1408 vezes

A resposta é: $2\pi\sqrt[]{\frac{2}{3}}$

Eu cheguei na seguinte expressão para o volume do cone: $V=\frac{\pi{R}^{3}}{3}\left(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \right)^{2}\sqrt[]{1-\left(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \right)^{2}}$

Chamei $y=\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \right)$ , e reescrevi assim: $y=\frac{\pi{R}^{3}}{3}{y}^{2}\sqrt[]{1-{y}^{2}}$ , com $0\leq y\leq1$

Derivando obtive o ponto de máximo $y=\sqrt[]{\frac{2}{3}}$

Pois bem, já fiz um monte de cálculos e não chego no gabarito. Para chegar na fórmula do volume eu fiz assim:

$\frac{2\pi R}{2\pi r}=\frac{2\pi}{2\pi-\alpha}\Rightarrow r=R\left(\frac{2\pi-\alpha}{2\pi} \right)$ e o H eu tirei por Pitágoras.

Não sei se fiz certo, pois considerei o meu cone obtido a partir da parte branca (já que subtraio $\alpha$ ) se é aqui que está meu erro, como consertá-lo e encontrar a resposta do gabarito?

por **young_jedi** » Seg Dez 23, 2013 21:37

é exatamente ai que esta o seu erro
a parte que voce tem que considerar como o cone é a cinza

a forma de corrigir é simples

$\frac{2\pi R}{2\pi r}=\frac{2\pi}{\alpha}$

$r=\frac{ \alpha R}{2\pi }$