[Fração Algébrica] Dúvida

por **mota_16** » Dom Dez 15, 2013 16:50

Pessoal, tentei desenvolver os produtos, mas cheguei em polinômios bem grandes e ainda não consegui usar a informação dada. Acho que estou fazendo errado.

Sejam a, b e c números reais não nulos, tais que a + b + c = 0. Determine os possíveis valores de $\frac{\left({a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3} \right)^{2}\left({a}^{4}+{b}^{4}+{c}^{4} \right)}{\left({a}^{5}+{b}^{5}+{c}^{5} \right)^{2}}$

a) $\frac{18}{25}$

b) $\frac{2}{25}$

c) $\frac{9}{5}$

d) $\frac{1}{5}$

e) $\frac{18}{5}$

por **e8group** » Dom Dez 15, 2013 21:41

Bom o número a ser calculado (o qual designamos por L(a,b,c)

)só pode ser constante ,pois o conjunto que goza da propriedade a+b+c = 0

é não-enumerável .Agora convenhamos,caso L(a,b,c)

não fosse constante não seria uma tarefa simples obter a,b,c particulares tais que L(a,b,c)

coincide com uma das alternativas ,o que acha ?

Só para confirmar se L(a,b,c)

é constante vamos desenvolver esta expressão .

(a^3+b^3+c^3)^2(a^4+b^4+c^4) := p

Da hipótese a+b+c = 0

(1) ,podemos obter algumas relações :

0= 0^2=(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab +ac +bc) = a^2+b^2+c^2 + 2(a[b+c] +bc)

,logo

e assim , $\boxed{a^2+b^2+c^2 = 2(a^2-bc)}$ (2) .
Elevando a expressão em destaque ao quadrado podemos obter uma expressão análoga àquela antes de "logo " ,basta trocar a,b,c respectivamente por a^2,b^2,c^2

e preservar as estruturas algébricas ,obtendo

(a^2+b^2+c^2 )^2 =a^4+b^4+c^4 + 2(a^2[b^2+c^2] +b^2c^2) = 4(a^2-bc)^2

e daí ,

$\boxed{a^4+b^4+c^4 = 4(a^2-bc)^2 - 2(a^2[b^2+c^2] +b^2c^2)}$ (3) .

Tudo isto até agora só para conseguir um dos fatores do numerador . Prosseguindo

$\boxed{ a^3+b^3+c^3 = a^3+b^3 -(a+b)^3 = a^3+b^3 -(a^3 + 3ab^2 +3a^2b + b^3) = -3ab(b+a) = 3abc}$ (4) e
assim $\boxed{( a^3+b^3+c^3 )^2 = 9(abc)^2}$ (5) .

Infelizmente meu tempo esgotou , só poderei tentar terminar amanha .De qualquer forma se quiser tentar concluir .

por **e8group** » Seg Dez 16, 2013 22:30

Continuando . Vamos fazer algumas simplificações com a expressão (3) , segue

a^4+b^4+c^4 = 4(a^2-bc)^2 -2(a^2(b^2+c^2) +(bc)^2) =

4(a^4 -2a^2bc + (bc)^2)-2(ab)^2-2(ac)^2 -2(bc)^2) =

4a^4 - 8a^2bc + 2(bc)^2 -2(ab)^2 -2(ac)^2 =

$\ 4a^4 + 8a^2b[a+b] + 2(b[a+b])^2 -2(ab)^2 -2(a[a+b])^2 =$

4a^4 +8a^3b + 8(ab)^2 + 2b^2(a^2+2ab+b^2) -2(ab)^2 -2a^2(a^2+2ab+b^2) =

$\boxed{2a^4 +4a^3b + 6(ab)^2 + 4ab^3 + 4b^4}$ (5)

Segue mais alguns resultados :

$0 = (a+b+c)(a^4+b^4+c^4) = \hdots = 3(a^5+b^5+c^5) + (a^3+b^3+c^3)(3[ab +bc +ac] -[a^2+b^2+c^2])$
(Tente chegar nesta expressão ).

Substituindo-se

por

e

por

(somente em algumas parcelas ,não todas !) obtemos

0 = 3(a^5+b^5+c^5) + (a^3+b^3+c^3)(3[ab -b(a+b) -a(a+b)] -2(a^2+b(a+b)) =

3(a^5+b^5+c^5) + (a^3+b^3+c^3)(3[-b^2- a^2 -ab] -2a^2 -2ab -2b^2) =

3(a^5+b^5+c^5) -5(a^3+b^3+c^3)(a^2 +b^2 +ab)

e assim temos que

$(a^5+b^5+c^5) = \frac{5}{3}(a^3+b^3+c^3)(a^2 +b^2 +ab)$ e portanto

$\boxed{(a^5+b^5+c^5)^2 = \frac{25}{9}(a^3+b^3+c^3)^2(a^2 +b^2 +ab)^2}$ (6) , ou se preferir ,expandindo (a^2 +b^2 +ab)^2 = a^4 + b^4 + 3(ab)^2 + 2ba^3+2ab^3

(a^2 +b^2 +ab)^2 = a^4 + b^4 + 3(ab)^2 + 2ba^3+2ab^3

que multiplicada por

nos dá exatamente (5) ,então concluímos que

$2(a^5+b^5+c^5)^2 = \frac{25}{9}(a^3+b^3+c^3)^2(2a^4 +4a^3b + 6(ab)^2 + 4ab^3 + 4b^4)$ . De (5) ,resulta :

$(a^5+b^5+c^5)^2 = \frac{25}{18} (a^3+b^3+c^3)^2(a^4+b^4+c^4)$ (7) .

O que mostrar que realmente L(a,b,c)

é constante e é igual a $\frac{18}{25}$ .

Hoje percebo que muitas daquelas relações obtidas no primeiro post não serviu p/ nada ,mas o importante é que conseguimos obter o resultado .

por **e8group** » Seg Dez 16, 2013 22:41

Aliás ,as relações no primeiro post foram importantes sim ,visto que $(2) \implies (3) \implies (5)$ e por aí vai ...

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